数学（莫比乌斯反演）：HAOI 2011 问题B

题目描述：

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

输入格式：

第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

输出格式：

共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

样例输入：

2

2 5 1 5 1

1 5 1 5 2

样例输出：

14

3

数据范围：

10%的数据满足：1≤n≤5，1≤a≤b≤100，1≤c≤d≤100

30%的数据满足：1≤n≤10

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

　　令F(n)表示gcd为k的倍数的数对个数，f(d)表示gcd为k个对数，显然符合第二种反演的形式。

　　然后再加上一个计数的小优化就可以AC了。

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 int prime[maxn],cnt;
 int mu[maxn],sum[maxn];
 bool check[maxn];

 void Prepare(){
     mu[]=;
     for(int i=;i<=;i++){
         if(!check[i]){
             prime[++cnt]=i;
             mu[i]=-;
         }
         for(int j=;j<=cnt;j++){
             if(prime[j]*i>)break;
             check[prime[j]*i]=true;
             if(i%prime[j]==){
                 mu[prime[j]*i]=;
                 break;
             }
             mu[prime[j]*i]=mu[i]*-;
         }
     }
     for(int i=;i<=;i++)
         sum[i]=sum[i-]+mu[i];
 }

 int T,k;
 int a,b,c,d;
 int C(int n,int m){
     n/=k;m/=k;
     int ret=,p;
     if(n>m)swap(n,m);
     for(int i=;i<=n;i=p+){
         p=min(n/(n/i),m/(m/i));
         ret+=(sum[p]-sum[i-])*(n/i)*(m/i);
     }
     return ret;
 }

 int main(){
     freopen("b.in","r",stdin);
     freopen("b.out","w",stdout);
     Prepare();
     scanf("%d",&T);
     while(T--){
         scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
         printf("%d\n",C(b,d)-C(b,c-)-C(a-,d)+C(a-,c-));
     }
     return ;
 }