CA Loves GCD

Accepts: 135
Submissions: 586
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Memory Limit: 262144/262144 K (Java/Others)
问题描述
CA喜欢是一个热爱党和人民的优秀同♂志,所以他也非常喜欢GCD(请在输入法中输入GCD得到CA喜欢GCD的原因)。
现在他有N个不同的数,每次他会从中选出若干个(至少一个数),求出所有数的GCD然后放回去。
为了使自己不会无聊,CA会把每种不同的选法都选一遍,CA想知道他得到的所有GCD的和是多少。
我们认为两种选法不同,当且仅当有一个数在其中一种选法中被选中了,而在另外一种选法中没有被选中。
输入描述
第一行 T,表示有 T 组数据。
接下来 T 组数据,每组数据第一行一个整数 N,表示CA的数的个数,接下来一行 N 个整数 Ai​i​​ 表示CA的每个数。
1≤T≤50, 1≤N≤1000, 1≤Ai≤10001 \le T \le 50,~1 \le N \le 1000,~1 \le A_i \le 10001≤T≤50, 1≤N≤1000, 1≤A​i​​≤1000
输出描述
对于每组数据输出一行一个整数表示CA所有的选法的GCD的和对 100000007 取模的结果。
输入样例
2
2
2 4
3
1 2 3
输出样例
8
10 所有数据∈[1,1000]
  这次的BestCoder没打,从没见过这么难的第二题。
  我们令dp[i][j]表示在前i个数中,选出若干个数使得它们的gcd为j的方案数,于是只需要枚举第i+1个数是否被选中来转移就可以了。
  令第i+1个数为v,当考虑dp[i][j]的时候,我们令dp[i+1][j] += dp[i][j],dp[i+1][gcd(j,v)] += dp[i][j]
  复杂度O(N*MaxV) MaxV 为出现过的数的最大值。
  其实有O(MaxV *log(MaxV))的做法,我们考虑记f[i]表示从这些数中选择若干个数,使得他们的gcd是i的倍数的方案数。假如有K个数是i的倍数,则f[i]=2K-1,再用g[i]表示从这些数中选择若干个数,使得他们的gcd是i的方案数,则g[i]=f[i] - Σ(j是i的倍数)g[j] 。
  由调和级数可以得到复杂度为O(MaxV *log(MaxV))
  
  还是挺巧妙的!
TLE的DP(MB卡常数):
 #include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=;
const int mod=;
int dp[maxn][maxn],a[maxn];
int Gcd(int a,int b){
return b?Gcd(b,a%b):a;
}
int main(){
int T,n,maxv;
scanf("%d",&T);
while(T--){
memset(dp,,sizeof(dp));
scanf("%d",&n);maxv=;
for(int i=;i<=n;maxv=max(maxv,a[i]),i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=;i<=n;i++)dp[i][]=;
for(int i=;i<=n;i++){
for(int j=;j<=maxv;j++)dp[i][j]=dp[i-][j];
for(int j=;j<=maxv;j++)
(dp[i][Gcd(j,a[i])]+=dp[i-][j])%=mod;
}
int ans=;
for(int j=;j<=maxv;j++)
(ans+=dp[n][j]*j)%=mod;
printf("%d\n",ans);
}
return ;
}

第二种方法的AC程序:

 #include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=;
const int mod=;
long long f[maxn],g[maxn],ans;
int main(){
int T,n;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&n);
memset(f,,sizeof(f));
for(int i=,x;i<=n;i++){
scanf("%d",&x);
for(int j=;j<=x;j++){
if(x%j==)
f[j]++;
}
}
for(int i=;i<=;i++){
long long ret=;
for(int j=;j<=f[i];j++)
(ret*=)%=mod;
ret-=;
f[i]=ret;
}
for(int i=;i>=;i--){
g[i]=f[i];
for(int j=*i;j<=;j+=i)
(g[i]-=g[j])%=mod;
}
ans=;
for(int i=;i<=;i++)
(ans+=g[i]*i)%=mod;
printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
}
return ;
}

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