【BZOJ 1096】 [ZJOI2007]仓库建设 (斜率优化)
1096: [ZJOI2007]仓库建设
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L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到
以下数据:1:工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);2:工厂i目前已有成品数量Pi;:3:在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。Input
第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
Output
仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。
Sample Input
3
0 5 10
5 3 100
9 6 10Sample Output
32HINT
在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。
【数据规模】
对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
【分析】
截距式的斜率优化虽然好想,但是真的推导过程总是各种错TAT
for i 1~n
f[i]=f[j]+p[k]*(x[k]-x[j]) +c[i](i<k<=j) [f(i)表示在i处建站,枚举上一个建站位置j
设s1[i]=sigma(p[1~i]) s2[i]=sigma(-p[1~i]*x[1~i])
得 f[i]=-s1[i]*x[j]+ s1[j]*x[j]+s2[j]+f[j] - s2[i]+x[i]
斜率s1[i]单调递减,维护一个下凸包即可。
代码如下:
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
#define Maxn 1000010
#define LL long long // LL x[Maxn],p[Maxn],c[Maxn];
LL s1[Maxn],s2[Maxn],f[Maxn]; struct hp
{
LL x,p,c;
}d[Maxn]; struct node
{
LL x,y;
}t[Maxn];LL cnt;
LL n; bool cmp(hp x,hp y) {return x.x<y.x;}
LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;} void init()
{
scanf("%lld",&n);
for(LL i=;i<=n;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld",&d[i].x,&d[i].p,&d[i].c);
}
// sort(d+1,d+1+n,cmp);
s2[]=;s1[]=;
for(LL i=;i<=n;i++)
{
s1[i]=s1[i-]+d[i].p;
s2[i]=s2[i-]-d[i].p*d[i].x;
}
} bool check(LL x,LL y,LL k)
{
return (t[y].y-t[x].y)<=k*(t[y].x-t[x].x);
} bool check2(LL x,LL y,LL z)
{
return (t[x].y-t[z].y)*(t[x].x-t[y].x)<=(t[x].x-t[z].x)*(t[x].y-t[y].y);
} void ffind()
{
LL cnt=,st;
f[n]=d[n].c;
t[++cnt].x=d[n].x;t[cnt].y=s1[n]*d[n].x+s2[n]+f[n];st=;
LL ans=t[].y;
for(LL i=n-;i>=;i--)
{
while(st<cnt&&check(st,st+,s1[i])) st++;
f[i]=-s1[i]*t[st].x+t[st].y-s2[i]+d[i].c;
//-s1[i]*x[j]+ s1[j]*x[j]+s2[j] - s2[i]
t[].x=d[i].x;t[].y=s1[i]*d[i].x+s2[i]+f[i];
while(st<cnt&&check2(cnt,cnt-,)) cnt--;
t[++cnt]=t[];
ans=mymin(ans,t[cnt].y);
}
printf("%lld\n",ans);
} int main()
{
init();
ffind();
return ;
}
[BZOJ 1096]
2016-09-18 13:17:39
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