视觉SLAM中的数学基础第三篇李群与李代数

前言

　　在SLAM中，除了表达3D旋转与位移之外，我们还要对它们进行估计，因为SLAM整个过程就是在不断地估计机器人的位姿与地图。为了做这件事，需要对变换矩阵进行插值、求导、迭代等操作。例如，在经典ICP问题中，给定了两组3D点，我们要计算它们之间的变换矩阵。假设第一组的3D点为$\mathbf{P}=\{ \mathbf{p}_i | i = [1,2, \ldots, N] \}$，第二组3D点为$\mathbf{Q}=\{ \mathbf{q}_i | i = [1,2, \ldots, N] \}$，那我们实际要做的事情是求一个欧氏变换$\mathbf{T}$，使得$\mathbf{T}$满足：

\[\begin{equation}
\forall i, \quad \mathbf{q}_i = \mathbf{T} \mathbf{p}_i
\end{equation}\]

　　注意这里使用了齐次坐标表示。通常，这许多个匹配过的点是通过特征匹配得到的，构成了一个超定方程。而由于噪声的存在，这个方程往往是无解的。因此我们转而计算一个最小二乘：
\[\begin{equation}
\mathop {\min }\limits_{\mathbf{T}} u\left( {\mathbf{T}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^N {{{\left\| {{\mathbf{q}_i} - \mathbf{T} {\mathbf{p}_i}} \right\|}^2}}
\end{equation}\]

　　这时问题就来了：如果用迭代方式求解这个优化时（尽管可以不用迭代方式来求），如何求目标函数$u$相对于$\mathbf{T}$的导数呢？首先，$\mathbf{T}$只有6 个自由度，最好能够在一个六维空间表达它，那么$u(\mathbf{T})$相对于这个六维空间的导数（雅可比矩阵）是一个$6 \times 6$的矩阵。其次，$\mathbf{T}$对于乘法是封闭的，但对加法不封闭，即任意两个变换矩阵相加后并不是一个变换矩阵，这主要是因为旋转矩阵对加法是不封闭的。

　　出于这两个原因，我们希望有更好的数学工具帮助我们做这些事，而李群与李代数理论正好提供了这样的工具。李群与李代数广泛地用于机器人与计算机视觉领域，并在机器人动力学推导上占据重要地位。不过，由于SLAM不涉及过多的动力学推导。我们重点介绍它在SLAM中相关的几个重要的结果，而略去许多数学性质的证明。特别地，重点介绍$SO(3)$和$SE(3)$这两个李群与对应的李代数。

李代数基础

　　首先，我们来讨论较为简单的三维旋转群。为了说明它的结构，首先介绍群的概念。

群

　　群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构，记作$(A,\cdot)$。其中$A$代表集合，$\cdot$是定义在该集合上的二元运算。那么，如果这个运算满足以下几个条件，则称$G=(A, \cdot)$为群。

封闭性: $ \quad \forall a_1, a_2, \quad a_1 \cdot a_2 \in A$
结合律: $ \quad \forall a_1, a_2, a_3, \quad (a_1 \cdot a_2) \cdot a_3 = a_1 \cdot ( a_2 \cdot a_3) $
幺元: $ \quad \exists a_0 \in A, \quad s.t. \quad \forall a \in A, \quad a_0 \cdot a = a \cdot a_0 = a $
逆: $ \quad \forall a \in A, \quad \exists a^{-1} \in A, \quad s.t. \quad a \cdot a^{-1} = a_0 $

　　读者可以记作“封结幺逆”（谐音凤姐咬你），并可以把一些常见的群放进去验证。例如整数的加法（幺元为0），去掉0后的有理数的乘法（幺元为1）。对于矩阵，可以找到一些常见的矩阵群，例如：

一般线性群$GL(n)$ 指$n \times n$的可逆矩阵，它们对矩阵乘法成群。
特殊正交群$SO(n)$ 也就是所谓的旋转矩阵群，其中$SO(2)$ 和$SO(3)$最为常见。正式的记法是：

\[\begin{equation}
SO(n) = \{ \mathbf{R} \in \mathbb{R}^{n \times n} | \mathbf{R R}^T = \mathbf{I}, det(\mathbf{R})=1 \}
\end{equation}\]

特殊欧氏群$SE(n)$ 也就是前面提到的$n$维欧氏变换，如$SE(2)$和$SE(3)$。这里给出$SE(3)$的记法：

\[\begin{equation}
SE(3) = \left\{ \mathbf{T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\mathbf{R} & \mathbf{t} \\
{{\mathbf{0}^T}} & 1
\end{array}} \right]
\in \mathbb{R}^{4 \times 4} | \mathbf{R} \in SO(3), \mathbf{t} \in \mathbb{R}^3\right\}
\end{equation}\]

　　群结构保证了在群上的运算具有良好的性质，而群论则研究群的各种结构和性质，但我们在此不多加介绍。感兴趣的读者可以参考任意一本近世代数教材。

　　李群是指具有连续性质的群。并且，一般连续群上的运算还是无限可微，乃至解析的（解析比无限可微更强，它还要求任意点邻域的泰勒展开都收敛）。这个问题在20世纪初被称为希尔伯特第五问题，并已得到了解决。而李群，则指实数空间上的连续群。常见的李群包括上边提到的$GL(n), SO(n), SE(n)$，以及其他的如酉群$U(n)$，辛群$Sp(2n)$等等。

三维旋转群$SO(3)$

　　三维旋转群$SO(3)$是特殊正交群$SO(n)$在$n=3$时的特例，它们可以用来描述三维空间的旋转，其元素都是$3 \times3$ 的正交且行列式为$+1$的矩阵。假设有这样一个矩阵$\mathbf{R}$，满足$\mathbf{R} \mathbf{R}^T＝\mathbf{I}$。现在，考虑它随时间发生变化，即从$\mathbf{R}$ 变成了$\mathbf{R}(t)$，仍有$\mathbf{R}(t) \mathbf{R}(t) ^T = \mathbf{I}$。在等式两边对时间求导，得到：

\[\begin{equation}
\mathbf{\dot{R}} (t) \mathbf{R} {(t)^T} + \mathbf{R} (t) \mathbf{\dot{R}} {(t)^T} = 0
\end{equation}\]
　　于是：
\[\begin{equation}
\mathbf{\dot{R}} (t) \mathbf{R} {(t)^T} = - \left( \mathbf{\dot{R}} (t) \mathbf{R} {(t)^T} \right)^T
\end{equation}\]

　　可以看出$\mathbf{\dot{R}} (t) \mathbf{R} {(t)^T}$是一个反对称矩阵。注意到对于任意一个$3 \times 3$的反对称矩阵，我们记它为$\mathbf{A}$。由于$\mathbf{A}^T=-\mathbf{A}$，所以它主对角线元素必为$0$，而非对角线元素则只有三个自由度。我们可以把它对应到一个向量$\mathbf{a}=[a_1, a_2, a_3]^T$中去：
\[\begin{equation}
{\mathbf{a}^ \wedge } = \mathbf{A} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - {a_3}}&{{a_2}}\\
{{a_3}}&0&{ - {a_1}}\\
{ - {a_2}}&{{a_1}}&0
\end{array}} \right]
\end{equation}\]

　　其中$^{\wedge}$符号表示由向量转换为矩阵，反之我们也可以用符号$^{\vee}$定义由矩阵转换为向量的方式：
\[\begin{equation}
{ \mathbf{A}^ \vee } = \mathbf{a}
\end{equation}\]

　　注意到这样定义的好处之一，是它与叉积的兼容性。我们可以直接把矩阵与任意向量的乘积$\mathbf{A} \mathbf{b} $写成 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$。读者可以自行验证这个兼容性。除此之外，这样定义的向量还有一些较好的性质，后文会提到。

　　现在，由于$\mathbf{\dot{R}} (t) \mathbf{R} {(t)^T}$是一个反对称矩阵，我们可以找到一个三维向量$\mathbf{\phi} (t) \in \mathbb{R}^3$与之对应。于是有：

\[\begin{equation}
\mathbf{ \dot{R} } (t) \mathbf{R}(t)^T = \mathbf{\phi} (t) ^ {\wedge}
\end{equation}\]

　　左右各右乘$\mathbf{R}(t)$，由于$\mathbf{R}$为正交阵，有：
\[\begin{equation}
\mathbf{ \dot{R} } (t) = \mathbf{\phi} (t)^{\wedge} \mathbf{R}(t) =
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - {\phi _3}}&{{\phi _2}}\\
{{\phi _3}}&0&{ - {\phi _1}}\\
{ - {\phi _2}}&{{\phi _1}}&0
\end{array}} \right] \mathbf{R} (t)
\end{equation}\]

　　可以看到，每对旋转矩阵求一次导数，只需左乘一个$\mathbf{\phi}$矩阵即可。由于$\mathbf{\phi}$反映了$\mathbf{R}$的导数性质，故称它在$SO(3)$的正切空间(tangent space)上。同时，将上式类比于一个关于$\mathbf{R}$的微分方程，可得：

\[\begin{equation}
\label{eq:so3ode}
\mathbf{R}(t) = \exp \left( \mathbf{\phi} (t) ^\wedge \right) \mathbf{R}(t_0)
\end{equation}\]

　　由此我们可以引出两个概念。（1）求$\mathbf{\phi}$的方法以及它的结构？——$\mathbf{\phi}$是对应到$SO(3)$上的李代数$\mathfrak{so}(3)$；（2）$\exp( \mathbf{\phi})$如何计算？——李群与李代数间的指数/对数映射。下面我们一一加以介绍。

什么是李代数

　　对于$SO(3)$和$SE(3)$，李代数可定义于李群的正切空间上，描述了李群中元素局部性质，分别把它们记作小写的$\mathfrak{so}(3)$和$\mathfrak{se}(3)$。首先，给出通用的李代数的定义。

　　李代数由一个集合$\mathbb{V}$，一个数域$\mathbb{F}$和一个二元运算$[]$组成。如果它们满足以下几条性质，称$(\mathbb{V}, \mathbb{F}, [])$ 为一个李代数，记作$\mathfrak{g}$。

封闭性 $\forall \mathbf{X}, \mathbf{Y} \in \mathbb{V}, [\mathbf{X} \mathbf{Y}] \in \mathbb{V}$
双线性 $\forall \mathbf{X,Y,Z} \in \mathbb{V}, a,b \in \mathbb{F}, $ 有 $$ [a\mathbf{X}+b\mathbf{Y}, \mathbf{Z}] = a[\mathbf{X}\mathbf{Z}] + b [ \mathbf{Y} \mathbf{Z} ] \quad [\mathbf{Z}, a \mathbf{X}+b\mathbf{Y}] = a [\mathbf{Z} \mathbf{X} ]+ b [\mathbf{ZY}] $$
自反性 $\forall \mathbf{X} \in \mathbb{V}, [\mathbf{X} \mathbf{X}] = \mathbf{0}$
雅可比等价 $\forall \mathbf{X,Y,Z} \in \mathbb{V}, [\mathbf{X}, [\mathbf{YZ}] ] + [\mathbf{Z}, [\mathbf{YX}] ] + [\mathbf{Y}, [\mathbf{ZX}]] $

　　从表面上来看，李代数所需要的性质还是挺多的。其中二元运算被称为李括号。相比于群中的较为简单的二元运算，李括号表达了两个集合元素的差异。它不要求结合律，而满足反对称性，以及元素和自己做李括号之后为零的性质。作为类比，三维向量$\mathbb{R}^3$ 上定义的叉积$\times$是一种李括号，因此$\mathfrak{g} = (\mathbb{R}^3, \mathbb{R}, \times)$构成了一个李代数。读者可以尝试将叉积的性质代入到上面四条性质中。

三维旋转群与对应的李代数
　　$SO(3)$对应的李代数是定义在$\mathbb{R}^3$上的向量，我们记作$\mathbf{\phi}$（注意这是个向量，虽然希腊字母的粗体不明显）。根据前面的推导，每个$\mathbf{\phi}$都可以生成一个反对称矩阵：

\[\begin{equation}
\label{eq:phi}
\mathbf{\Phi} = \mathbf{\phi}^{\wedge} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - {\phi _3}}&{{\phi _2}}\\
{{\phi _3}}&0&{ - {\phi _1}}\\
{ - {\phi _2}}&{{\phi _1}}&0
\end{array}} \right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3}
\end{equation}\]

　　在此定义下，两个向量$\mathbf{\phi}_1, \mathbf{\phi}_2$的李括号为：

\[\begin{equation}
[\mathbf{\phi}_1, \mathbf{\phi}_2] = \mathbf{ \Phi }_1 \mathbf{ \Phi }_2 - \mathbf{ \Phi }_2 \mathbf{ \Phi }_1
\end{equation}\]

　　读者可以去验证该定义下的李括号满足上面的几条性质。由于$\mathbf{\phi}$ 与反对称矩阵关系很紧密，在不引起歧义的情况下，就说$\mathfrak{so}(3)$的元素是3维向量或者3维反对称矩阵，不加区别：
\[\begin{equation}
\mathfrak{so}(3) = \left\{ \Phi = \mathbf{\phi^\wedge} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} | \mathbf{\phi} \in \mathbb{R}^3 \right\}
\end{equation}\]

　　反对称矩阵有一些重要的性质，重点包括以下两条：

\[\begin{equation}
\mathbf{\phi} \mathbf{\phi}^T = \mathbf{\phi}^{\wedge} \mathbf{\phi}^{\wedge} + \| \mathbf{\phi} \|^2 \mathbf{I}_{3 \times 3}
\end{equation}\]

　　当$\mathbf{\phi}$为单位向量时，进而有：
\[\begin{equation}
\mathbf{\phi} \mathbf{\phi}^T = \mathbf{\phi}^{\wedge} \mathbf{\phi}^{\wedge} + \mathbf{I}1
\end{equation}\]

　　以及

\[\begin{equation}
\mathbf{\phi}^{\wedge} \mathbf{\phi}^{\wedge} \mathbf{\phi}^{\wedge} = - \mathbf{\phi}^{\wedge}
\end{equation}\]

　　这两条性质读者也可以自行验证，我们在指数映射中会用到。

　　至此，我们已清楚了$\mathfrak{so}(3)$的结构。它们是一个由三维向量组成的集合，每个向量对应到一个反对称矩阵，可以表达旋转矩阵的导数。现在来考虑$\exp ( \mathbf{\phi}^{\wedge} )$是如何计算的，为此我们引入指数映射。

指数映射

　　首先，回忆任意矩阵的指数映射。它可以写成一个泰勒展开，但是只有在收敛的情况下才会有结果，其结果仍是一个矩阵。
\[\begin{equation}
\exp(\mathbf{A}) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{n!}}{ \mathbf{A}^n}}
\end{equation}\]

　　同样地，对$\mathfrak{so}(3)$中任意一元素$\mathbf{\phi}$，我们亦可按此方式定义它的指数映射：

\[\begin{equation}
\exp(\mathbf{\phi}^\wedge) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{n!}}{ (\mathbf{\phi}^{\wedge})^n}}
\end{equation}\]

　　现在我们来仔细看看它的含义。由于$\mathbf{\phi}$是三维向量，我们可以定义它的模长和它的方向，分别记作$\theta$和$\mathbf{a}$（注意这里记号是有含义的，此时$\mathbf{a}$是一个单位长度的向量），那么按照上式，可以推出如下公式，注意中间使用了上面讲到了两个反对称矩阵的性质：

\[\begin{align*}
\exp \left( {{\mathbf{\phi} ^ \wedge }} \right) &= \exp \left( {\theta {\mathbf{a}^ \wedge }} \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{n!}}{{\left( {\theta {\mathbf{a}^ \wedge }} \right)}^n}} \\
&= \mathbf{I} + \theta {\mathbf{a}^ \wedge } + \frac{1}{{2!}}{\theta ^2}{\mathbf{a}^ \wedge }{\mathbf{a}^ \wedge } + \frac{1}{{3!}}{\theta ^3}{\mathbf{a}^ \wedge }{\mathbf{a}^ \wedge }{\mathbf{a}^ \wedge } + \frac{1}{{4!}}{\theta ^4}{\left( {{\mathbf{a}^ \wedge }} \right)^4} + ...\\
&= \mathbf{a} {\mathbf{a}^T} - {\mathbf{a}^ \wedge }{\mathbf{a}^ \wedge } + \theta {\mathbf{a}^ \wedge } + \frac{1}{{2!}}\theta {\mathbf{a}^ \wedge }{\mathbf{a}^ \wedge } - \frac{1}{{3!}}{\theta ^3}{\mathbf{a}^ \wedge } + \frac{1}{{4!}}{\theta ^4}{\left( {{\mathbf{a}^ \wedge }} \right)^4} + ...\\
&= \mathbf{a}{\mathbf{a}^T} + \left( {\theta - \frac{1}{{3!}}{\theta ^3} + \frac{1}{{5!}}{\theta ^5} - ...} \right){\mathbf{a}^ \wedge } - \left( {1 - \frac{1}{{2!}}{\theta ^2} + \frac{1}{{4!}}{\theta ^4} - ...} \right){\mathbf{a}^ \wedge }{\mathbf{a}^ \wedge }\\
&= {\mathbf{a}^ \wedge }{\mathbf{a}^ \wedge } + \mathbf{I} + \sin \theta {\mathbf{a}^ \wedge } - \cos \theta {\mathbf{a}^ \wedge }{\mathbf{a}^ \wedge }\\
&= (1 - \cos \theta ){\mathbf{a}^ \wedge }{\mathbf{a}^ \wedge } + I + \sin \theta {\mathbf{a}^ \wedge }\\
&= \cos \theta \mathbf{I} + (1 - \cos \theta )\mathbf{a}{\mathbf{a}^T} + \sin \theta {\mathbf{a}^ \wedge } \\
\end{align*}\]

　　最后我们得到了一个似曾相识的式子：
\[\begin{equation}
\exp( \theta \mathbf{a} ) = \cos \theta \mathbf{I} + (1 - \cos \theta )\mathbf{a}{\mathbf{a}^T} + \sin \theta {\mathbf{a}^ \wedge }
\end{equation}\]

　　回忆前一节内容，它和罗德里格斯公式（参观本系列第一篇）如出一辄。这表明，$\mathfrak{so}(3)$实际上就是由所谓的旋转向量组成的空间。特别地，当转轴取一定顺序时，李代数$\mathfrak{so}(3)$还会变为对应的欧拉角。通过罗德里格斯公式或者指数映射，我们把$\mathbb{R}^3$ 中的一个向量对应到了一个位于$SO(3)$中的3D旋转。

　　反之，如果定义对数映射，我们也能把$SO(3)$中的元素对应到$\mathfrak{so}(3)$中：

\[\begin{equation}
\mathbf{\phi} = \ln {\left( \mathbf{R} \right)^ \vee } = {\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}}{{\left( { \mathbf{R} - \mathbf{I}} \right)}^{n + 1}}} } \right)^ \vee }
\end{equation}\]

　　其中$^\vee$表示从反对称矩阵到向量的对应关系，为$^\wedge$的逆运算。

　　读者可能会问，指数映射性质如何呢？它是一个双射吗？很遗憾，它只是一个满射。每个$SO(3)$中的元素，都可以找到$\mathfrak{so}(3)$中至少一个与之对应；但是可能存在多个$\mathfrak{so}(3)$中的元素，对应到同一个$SO(3)$元素上。至少对于旋转角$\theta$，我们知道它具有周期性。

　　$SO(3)$与$\mathfrak{so}(3)$的结论似乎在我们意料之中。它和我们前面讲的旋转向量与旋转矩阵很相似，而指数映射即是罗德里格斯公式。旋转向量可以视为旋转矩阵的导数，指导如何在旋转矩阵中进行微积分运算。

三维欧氏群与对应的李代数

　　下面我们来介绍三维欧氏群$SE(3)$以及对应的李代数$\mathfrak{se}(3)$。有了前面的基础，我们可以直接介绍它们的结构及运算了。$SE(3)$的结构已经在前面介绍群的时候给出：

　　每个变换矩阵有六个四由度，故对应的李代数位于$\mathbb{R}^6$中：
\[\begin{equation}
\mathfrak{se}(3) = \left\{ \mathbf{ \Xi } = \mathbf{\xi}^\wedge \in \mathbb{R}^{4 \times 4} | \mathbf{\xi} \in \mathbb{R}^6 \right\}
\end{equation}\]

　　但是$^\wedge$不再对应到一个反对称关系，而是：
\[\begin{equation}
\mathbf{\xi}^\wedge = {\left[ \begin{array}{l}
\mathbf{\rho} \\
\mathbf{\phi}
\end{array} \right]^ \wedge } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\mathbf{\phi} ^ \wedge }}&\mathbf{\rho} \\
{{\mathbf{0}^T}}&0
\end{array}} \right] = \mathbf{\Xi}
\end{equation}\]

　　可以看到，$\mathbf{\xi}$ 的前三维为旋转向量，后三维为平移向量，其定义也十分的直观。该李代数对应于微分方程：

\[\begin{equation}
\mathbf{\dot{T}}(t) = \mathbf{\xi}^\wedge(t) \mathbf{T}(t)
\end{equation}\]

　　因此
\[\begin{equation}
\mathbf{T}(t) = \exp ( \mathbf{\xi}(t)^\wedge ) \mathbf{T}(t)
\end{equation}\]

　　那么$\mathfrak{se}(3)$上的指数映射如何呢？略加推导可得：

\[\begin{align}
\exp \left( {{ \mathbf{\xi} ^ \wedge }} \right) &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{n!}}{{\left( {{\mathbf{\phi} ^ \wedge }} \right)}^n}} }&{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {{\mathbf{\phi} ^ \wedge }} \right)}^n} \mathbf{\rho} } }\\
{{\mathbf{0}^T}}&1
\end{array}} \right] \\
&= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\mathbf{\Phi} &{\mathbf{J\rho} } \\
{{\mathbf{0}^T}}&1
\end{array}} \right]
\end{align}\]

　　左上角的$\mathbf{\Phi}$是我们熟知的$\mathfrak{so}(3)$中的元素，前文已经介绍过了。而右上角的$\mathbf{J}$则可整理为（设$\mathbf{\phi}=\theta\mathbf{a}$）：

\[\begin{equation}
\mathbf{J} = \frac{{\sin \theta }}{\theta } \mathbf{I} + \left( {1 - \frac{{\sin \theta }}{\theta }} \right) \mathbf{a} { \mathbf{a}^T} + \frac{{1 - \cos \theta }}{\theta }{ \mathbf{a}^ \wedge }
\end{equation}\]

　　因此我们就得到了$\mathfrak{se}(3)$的指数映射的关系。其对数映射亦可类比推得。

小结

　　最后，我们对之前介绍的李群李代数进行一个简单的小结。概而言之，李群有以下两个重要用处：

李代数表达的正切空间，具有和对应李群相同的自由度。
指数映射能把正切空间中任意向量正好映射到原李群。

　　下篇中，我们将教大家用Eigen和Sophus库处理变换矩阵与李代数。敬请期待。

参考资料

[1]. Yi Ma, An Invitation to 3D Vision. 2001.

[2]. Timothy D. Barfoot, State Estimation for Robotics: A Matrix-Lie-Group Approach, 2015.

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