[JZOJ5522] 图

题目大意：

一个有向图，图中有\(n\)个点\(m\)条边且无重边无自环，
每秒第\(i\)条边出现的概率是\(\frac{p[i]}{100}\)，
一开始\(Samjia\)在\(1\)点，每一秒假设\(Samjia\)在点\(x\)上，
那么\(Samjia\)要从存在的边中选一条来走，不可以不走，
如果不存在可以走的边，那么\(Samjia\)就会\(gg\)(挂了)，
假设\(Samjia\)绝顶聪明，问最后\(Samjia\)可以成功到达\(n\)的最大概率是多少。
.
输出只有一个实数表示答案，即最后\(Samjia\)可以成功到达n的最大概率，
你的答案与标准输出相差不超过\(1e-6\)即视为正确。
.
对于\(100\%\)的数据，\(2\leq n \leq 50,0\leq m\leq n*(n-1),0\leq p[i]\leq 100\)
一组数据：
input：
3 3
1 2 50
2 1 100
2 3 50
output:
0.333333333

思路及解法：

显然准确值是求不出来的(难不成你还微积分?),网上的正解都是 高斯消元调整法 ，
然而这题其实可以不用这么高级的东西就可以水过去的（滑稽）。
首先假设我们也足够聪明，我们可以知道每个节点\(u\)的后继到达\(n\)的概率\(P_u\)。
那么一个非常显然的贪心就是我们先会去走成功概率大的点。
如果成功概率最大的点对应的那条边没有出现，我们则走成功概率次大的点。
其实转移已经出来了。
现在我们的问题是：我们不够聪明，不知道后续节点的成功概率。
然后正解的方法就是随便试一个排列，然后高斯消元（虽然我并不知道怎么搞）。
其实直接倒着转移不就行了吗？
没错，就是这样。

具体实现：

我们设\(f[t][u]\)表示从\(u\)点出发，用不超过\(t\)秒的时间成功到达\(n\)点的最大概率。
那么每次转移的时候，我们先把\(f[t-1]\)从大到小排一遍序（这不就是高斯消元要求的东西吗？）
然后考虑转移：非常显然：
\[f[t][u] = f[t][u] + f[t-1][v]*happen*pb[u][v]\]
其中\(pb[u][v]\)是\((u->v)\)这条边存在的概率，\(happen\)则是事件发生的概率。
那么关键是事件发生的概率\(happen\)怎么求。
由我们之前确定的贪心策略可以知道：
走向一个点发生的概率 为 连接 成功概率比它大的点 的边都不存在的概率
所以
\[happen_v = \prod_{r=1}^{n} (100\%-pb[u][r])*[\ f[t-1][r]>f[t-1][v]\ ]\]
一边 \(DP\) 一边处理即可。
至于精度要求的问题，其实是最简单的，跑个一两万遍精度不就符合要求了吗？

实现代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define RG register
#define IL inline
using namespace std;

double pb[70][70];  int n,m;
struct F{double p; int id;}f[20005][70];
IL bool cmp(F a,F b){return a.p>b.p;}

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(RG int i = 1; i <= m; i ++){
        RG double ppp; RG int xxx,yyy;
        cin >> xxx >> yyy >> ppp;
        pb[xxx][yyy] = 1.0*ppp/100;
    }
    for(RG int i = 1; i <= n; i ++)f[0][i] = (F){0,i};
    f[0][n] = (F){1,n};
    for(RG int i = 1; i <= 15000; i ++){
        f[i-1][n] = (F){1,n};
        sort(f[i-1]+1,f[i-1]+n+1,cmp);
        for(RG int u = 1; u <= n-1; u ++){
            f[i][u] = (F){0,u};
            RG double happen = 1;
            for(RG int j = 1; j <= n; j ++){
                RG int v = f[i-1][j].id;
                f[i][u].p += f[i-1][j].p*happen*pb[u][v];
                happen = happen*(1 - pb[u][v]);
            }
        }
    }
    printf("%.10lf",f[15000][1].p);  return 0;
}