字符串的最长回文串：Manacher’s Algorithm

题目链接：Longest Palindromic Substring

1. 问题描述

Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.

2. 各种解法复杂度

• 暴力枚举：O(N^2)
• 记忆化搜索：O(N^2)
• 动态规划：O(N^2)
• Manacher’s Algorithm ： O(N)

3. Manacher’s Algorithm

步骤：

1. 字符串里相邻两个字符之间插入一个 # ，开头和结尾也加上 # 。
   
   例如：
   
   Str = “abaaba”, Trans = “#a#b#a#a#b#a#”.
   
   注：Trans 为 transform

2. 声明一个数组 P[n] ： 其中 n 为 Trans 的长度。P[index] 表示以 index 为中心的最长回文串长度（不包括 index 本身）。例如：

   Trans = # a # b # a # a # b # a #
       P = 0 1 0 3 0 1 6 1 0 3 0 1 0
   

   声明变量 Cur ：表示当前回文串最长的中心的下标（current position），初值为0。
   
   声明变量 Right ： 表示以Cur为中心的回文串最右一个字符所处位置。

   

3. 建立循环，以增量 index 为中心，扩展 index 。也就是检查 index 两边是否相等。如果相等， P[index] 加1。

   在循环体中：

   • 变量 index ：
     
     当前检查的元素的下标。
   • 声明变量 index_ mirror ：
     
     以Cur为对称轴， index 的对称位置，index_mirror = Cur - ( index - Cur ) 。
   • 在扩展之前检查 Right 是否大于 index ：
     
     如果是，那么 P[index] 的值直接赋值为 min(R - index, P[index_mirror]) ；否则P[index] = 0。

4. 如果 index + P[index] > Right ，将 Cur 更新为 index 。

5. 找出 P[] 的最大值即是答案。

4. Q&A

• 为什么要插入 # ？
  
  比如 abba ，以第一个 b 的下标为 index ，如果要比较 index 的回文，那么它就得比较 index 和 index+1
  
  如果插入 #a#b#b#a# ，第一个 b 后面的 # 下标为 index ，则比较 index - 1 和 index + 1 这样代码更清晰，也更好理解。此时 # 的 P[] 值就表示该位置的回文串长度。

• 其他
  
  
  
  如上图。由于我们已经检查出 Cur 位置的回文串长度是 9 ，那么 Cur 左右两边的 9 个字符是对称的。如果 index_mirror 的 P[] 值小于等于 R-index 的值（即距离），那么令 P[index] = P[index_mirror] ——对称的性质。为什么要小于他们的距离？因为如果大于他们的距离，例如图中最左边的 a ，它回文串的范围超出了 Cur 回文串的范围，超出 Cur 范围的对称性是未知的。从图中我们可以看出，在对称右边的 a 显然 P[] 值跟左边的不相等，它是 1 。此时只能以 index 为中心继续比较（而不是直接令 P[index] = P[index_mirror] ，因为对称性质无法使用）。

  在检测 index 的最大回文串时，如果检测到 index 的回文串长度最右侧大于 Cur 的最右侧，也就是 Right ，那么将 Cur 更新为 index 。因为如果后面的元素本来可以用更新前 Cur 的对称性，那么更新后的 Cur 的对称性它同样可以用。而 Cur 的更新会使得更后面的元素可以用其对称性。

参考链接：

1. Longest Palindromic Substring Part II
2. Manacher's ALGORITHM: O(n)时间求字符串的最长回文子串
3. soulmachine/leetcode -- Github