MT【49】四次函数求最值

已知$f(x)=(1-x^2)(x^2+ax+b)$的图像关于x=3对称，求$f(x)$的最大值。

解答：显然$-1,7;1,5$是$f(x)=0$的根.故$(x^2+ax+b)=(x-5)(x-7)$,

$\therefore f(x)=(1-x)(1+x)(x-5)(x-7）$

$=(1-x) (x-5)(x-7) (1+x)=(-x^2+6x-5)(x^2-6x-7)$

令$t=x^2-6x$则$f(x)=g(t)=(-t-5)*(t-7)=-t^2+2t+35\le36$

当$x^2-6x-1=0$时取到等号。

评：四次多项式和二次多项式有点相似，零点关于对称轴对称.但是要注意三次多项式零点不是

关于对称点对称，而是极值点关于对称点对称.