P4099 [HEOI2013]SAO
P4099 [HEOI2013]SAO
贼板子有意思的一个题~~~我()竟然没看题解
有一张连成树的有向图,球拓扑序数量。
树形dp,设\(f[i][j]\)表示\(i\)在子树中\(i\)拓扑序上排名为\(j\)的方案数。
难就难在转移,现在有两个树\(x\)和\(y\),其中\(x\)是父亲,\(x\)的拓扑序小于\(y\)的,从\(f[x][p1],f[y][p2]\)转移到\(newf[x][p3]\):\(x\)在原序列中排名\(p1\),新序列中\(p3\);\(y\)在原序列中排名\(p2\),新序列中\(p4\),那么限制是\(p3<p4\)
那么\(x\)子树中,\(p1\)左边的点也一定在\(p3\)左边(因为是和同一个点\(x\)比较)
又有限制\(p3<p4\),所以\(y\)的原序列中排名为\([p2,siz_y]\)都在\(p3\)右边,\([1,p2-1]\)可以有一些在\(p3\)右边,有一些在左边
所以\(p3\)的左边数的数量限制是:\(p1-1\leq p3-1\leq p1-1+p2-1\),也就是\(p1\leq p3\leq p1+p2-1\)
\(p3\)的范围就确定了,转移当然还要乘组合数,先考虑左边的情况,左边有\(p3-1\)个点,一定有\(p1-1\)个来自\(x\)的原序列,所以左边的方案数为\(C_{p3-1}^{p1-1}\);右边同理,有\(siz_x+siz_y-p3\)个点,一定有\(siz_x-p1\)个点来自\(x\)的原序列,所以右边方案数是\(C_{siz_x+siz_y-p3}^{siz_x-p1}\)。
综上,从\(f[x][p1],f[y][p2]\)转移到\(newf[x][p3]\),而且新序列中\(x\)在\(y\)左边,要满足\(p1\leq p3\leq p1+p2-1\),转移方程是
\(newf[x][p3]+=C_{p3-1}^{p1-1}C_{siz_x+siz_y-p3}^{siz_x-p1}f[x][p1]f[y][p2]\)
还有一种情况就是新序列中\(x\)在\(y\)右边的,也是同理推,转移方程一样,唯一的区别是\(p3\)的取值范围是\(p1+p2\leq p3\leq p1+siz_x\)。
然后就解决了,然而是\(O(n^3)\)的,考虑优化
当然把式子写出来啊(还是以新序列中\(x\)在\(y\)左边为例)
for p1 in [1,siz_x]
for p2 in [1,siz_y]
for p3 in [p1,p1+p2-1]
转移
观察一下转移方程,好像\(p2\)只出现了一次,还是连续的,于是调换循环顺序(省去对循环范围的推倒):
for p1 in [1,siz_x]
for p3 in [p1,p1+siz_y-1]
for p2 in [p3-p1+1,siz_y]
转移
那么把循环转移成了p2最后一个循环,就可以用前缀和优化转移了,然后这题切了。。。
就是新序列中\(x\)在\(y\)右边的情况直接看代码。
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define vd void
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
il ll gi(){
ll x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
int fir[1010],dis[2010],nxt[2010],w[2010],id;
il vd link(int a,int b,int c){nxt[++id]=fir[a],fir[a]=id,dis[id]=b,w[id]=c;}
int f[1010][1010],g[1010],siz[1010];
int C[1010][1010];
il vd dfs(int x){
siz[x]=1;f[x][1]=1;
for(int i=fir[x];i;i=nxt[i]){
if(siz[dis[i]])continue;
dfs(dis[i]);
memcpy(g,f[x],sizeof g);
memset(f[x],0,sizeof f[x]);
if(w[i]==1){
for(int p1=1;p1<=siz[x];++p1)
for(int p3=p1;p3<p1+siz[dis[i]];++p3)
f[x][p3]=(f[x][p3]+1ll*C[siz[x]+siz[dis[i]]-p3][siz[x]-p1]*C[p3-1][p1-1]%mod*g[p1]%mod*(f[dis[i]][siz[dis[i]]]-f[dis[i]][p3-p1]+mod))%mod;
}else{
for(int p1=1;p1<=siz[x];++p1)
for(int p3=p1+1;p3<=p1+siz[dis[i]];++p3)
f[x][p3]=(f[x][p3]+1ll*C[siz[x]+siz[dis[i]]-p3][siz[x]-p1]*C[p3-1][p1-1]%mod*g[p1]%mod*f[dis[i]][p3-p1])%mod;
}
siz[x]+=siz[dis[i]];
}
for(int i=1;i<=siz[x];++i)f[x][i]=(f[x][i]+f[x][i-1])%mod;
}
int main(){
#ifdef XZZSB
freopen("in.in","r",stdin);
freopen("out.out","w",stdout);
#endif
C[0][0]=1;
for(int i=1;i<=1000;++i){
C[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;++j)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
}
int T=gi();
while(T--){
id=0;memset(fir,0,sizeof fir);memset(siz,0,sizeof siz);
int n=gi(),a,b;char ch;
for(int i=1;i<n;++i){
scanf("%d %c %d",&a,&ch,&b);++a,++b;
link(a,b,ch=='<');link(b,a,ch=='>');
}
dfs(1);
printf("%d\n",f[1][n]);
}
return 0;
}
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