[NOI2002] Robot 解题报告(数论+DP)
题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1408
Description
Input
Output
Sample Input
3 2 1 3 2 5 1
Sample Output
8 6 75
这么长的题面。。。是在告诉我们OI选手必须学好语文吗?
其实题目中的机器人n独立数就是phi(n),新定义phi(1)=0。机器人n的老师就是n的约数,与某个数有共同老师说明二者不互质。
直接在已经质因数分解的数上DP就好
ans1表示到目前质因子政客的独立数之和(即拥有偶数个质因子的数的欧拉函数之和)
ans2表示到目前质因子军人的独立数之和(即拥有奇数个质因子的数的欧拉函数之和)
注意不管是军人还是政客的质因子都是互异的
于是我们得到下面的状态转移方程:
int z=ans1;
ans1=(ans1+ans2*(p-))%mod;//政客
ans2=(ans2+(z+)*(p-))%mod;//军人
因为欧拉函数是积性函数,所以每多加一个质因子p,独立数之和就会乘上p-1;计算ans2时之所以z要加1是因为新加的一个质因数p单独存在也会对答案做出贡献
那么学者呢?根据题意,不是军人,不是政客,当然也不是1号机器人的就是学者。于是学者的独立数之和等于数m的各个约数的独立数之和-1(1号机器人不算)-政客的独立数之和-军人的独立数之和
根据欧拉函数的定理之一,一个正整数的各个约数的欧拉函数值之和等于本身的值
还需要注意2遇到要跳过
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std; const int maxn=+;
const int mod=;
int k,m,ans1,ans2,p,e;
inline int read()
{
char ch=getchar();
int s=,f=;
while (!(ch>=''&&ch<='')) {if (ch=='-') f=-;ch=getchar();}
while (ch>=''&&ch<='') {s=(s<<)+(s<<)+ch-'';ch=getchar();}
return s*f;
}
int pow(int x,int e)
{
int r=;
while (e)
{
if (e&) r=r*x%mod;
x=x*x%mod;e>>=;
}
return r;
}
int main()
{
k=read();
m=;
for (int i=;i<=k;i++)
{
p=read();e=read();
m=m*pow(p,e)%mod;
if (p==) continue;
int z=ans1;
ans1=(ans1+ans2*(p-))%mod;//政客
ans2=(ans2+(z+)*(p-))%mod;//军人
}
printf("%d\n%d\n%d\n",ans1,ans2,(m--ans1-ans2+*mod)%mod);
return ;
}
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