后缀自动机(SAM)速成手册！

正好写这个博客和我的某个别的需求重合了。。。我就来讲一讲SAM啦qwq

后缀自动机，也就是SAM，是一种极其有用的处理字符串的数据结构，可以用于处理几乎任何有关于子串的问题，但以学起来异常困难著称（在机房里，最先学会SAM的永远是大佬（比如litble和zyf（他在退役前就学了）））。

但是！！！当你学了SAM并熟练地刷了几道题后，你会发现——你之前为了学SAM而强行理解的许多定理，对你应用SAM一点用处也没有！为了引出构造算法，几乎所有博客都会详细地解释“你为啥要这样做”，然鹅。。。

SAM完全可以当成黑盒来用！！！！！！

所以我打算写一篇SAM速成博客。。。保证即学即会！

在构建之前你不得不知道的

Warning：想彻底理解后缀自动机吗？那你有好消息了！请立即关闭此页面，在百度里搜索“后缀自动机 陈立杰”，开始愉快的学习吧！（讲真，陈老师的ppt是讲的最好的，别的博客无能出其右者）

SAM是一个DAG（有向无环图），每个点代表一个"状态"，边代表状态转移，边上有一个字母。SAM有一个起始状态（称为起点），从起点开始，沿着边不断走下去，就可以得到一个字符串。记当前停留节点为\(x\)，走出来的字符串为\(S\)，称节点\(x\)可代表字符串\(S\)。记\(x\)可代表的串中长度最长的串的长度为\(len(x)\)。

另外，除起点外的每个节点还拥有一个“后缀链接“，记作\(fa(x)\)。后缀链接组成了一棵树，别的性质在构建完之后再讲。

存储SAM利用的是类似于Trie树的存储结构，即使用\(ch[][26]\)数组保存状态转移的边。

知道了这些，构建SAM的工作就可以开始了。

开始建造后缀自动机

准备工作：建立数组\(ch,fa,len\)，准备指针\(last,cnt\)。SAM的构造方法是不断地向已经建好的SAM中加入新的节点。\(last\)表示上一个被插入的节点，\(cnt\)表示SAM中的节点数量。一开始，\(last=cnt=1\)，表示只有一个起点的初始SAM。

接下来，假设要往SAM里加入一个字符\(x\)。

1. 新建节点\(np=++cnt\)。新建节点\(p\)。\(p=last\)。$ last=np$。
2. 如果不存在\(ch[p][x]\)，令\(ch[p][x]=np,p=fa[p]\)。重复此步骤。
3. 如果到最后还没有一个\(p\)拥有儿子\(x\)，令\(fa[np]=1\)。退出过程。
4. 当\(ch[p][x]​\)出现时，令\(q=ch[p][x]​\)。如果\(len[q]==len[p]+1​\)，令\(fa[np]=q​\)。退出过程。
5. 否则有点麻烦。新建节点\(nq=++cnt\)，将\(q\)的儿子都复制给\(nq\)，令\(len[nq]=len[p]+1\)。
6. 令\(fa[nq]=fa[q],fa[q]=fa[np]=nq\)。
7. 从\(p\)开始沿着后缀链接，将所有\(ch[p][x]==q\)的节点的\(ch[p][x]\)都替换成\(nq\)。

将你的字符串的所有字符都一一进行如上操作后，你就得到了用你的字符串构建出来的SAM。

你不需要知道为什么这么操作可以得到SAM，你只需要记下以下的代码，做几道题强化记忆，然后就可以用SAM的性质来秒题了。

void insert(int x)
{
    int np=++cnt,p=last;
    len[np]=len[p]+1,last=np;
    while(p&&!ch[p][x])ch[p][x]=np,p=fa[p];
    if(!p)fa[np]=1;
    else
    {
        int q=ch[p][x];
        if(len[q]==len[p]+1)fa[np]=q;
        else
        {
            int nq=++cnt;len[nq]=len[p]+1;
            memmove(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[nq]));
            fa[nq]=fa[q],fa[np]=fa[q]=nq;
            while(ch[p][x]==q)ch[p][x]=nq,p=fa[p];
        }
    }
}

后缀自动机的奇妙性质

现在，你已经拥有SAM了，你需要知道它有什么用。这里列举了SAM的一些基本且常用的性质。

请牢记以下每一条内容！都十分有用！不要去问“为什么是这样的”！（如果一定要问，请参照上文蓝色放大的Warning）

首先，SAM的点数与边数都是\(O(n)\)的。记住，由于每次插入最多新建两个点，所以应该开字符总量两倍的空间。计算空间时别忘了你开了26倍的\(ch\)数组。

在SAM上从起点开始沿着边随便走走，得到的一定是子串。同时，每一个子串都可以在SAM上走出一条唯一对应的路径。也就是说，子串和SAM上从起点开始的每一条路径一一对应。路径数等于子串数。

起点可以看做是代表空串的点。

重点：定义子串的\(right\)集合：这个子串在原串中所有出现的位置的右端点的集合。

比如说：AAAABBAAAAABAAABBAA

子串AAB出现了3次，右端点集合为\(\{5,12,16\}\)。这就是子串AAB的\(right\)集合。

一个节点能够代表的所有子串的\(right\)集合是一样的。\(right\)集合相等的子串一定被同一个节点代表。（所以，我们会使用“节点的\(right\)集合”这个说法。）两个节点的\(right\)集合之间要么真包含，要么没有交集。若节点\(y\)的\(right\)集合包含了节点\(x\)的\(right\)集合，那么\(y\)能代表的子串均为\(x\)能代表的子串的真后缀。

重点：定义节点\(x\)的后缀链接\(fa(x)\)：如果有一些节点的\(right\)集合包含了\(x\)的\(right\)集合，\(fa(x)\)是其中\(right\)集合的大小最小的那一个。

后缀链接们组成了一棵“后缀链接树”（不是后缀树）。后缀链接树的根为起点。若节点\(y\)的\(right\)集合包含了节点\(x\)的\(right\)集合，那么\(y\)在后缀链接树上是\(x\)的祖先。

一个节点的\(right\)集合等于他在后缀链接树上的所有儿子的\(right\)集合的并集。而且儿子的\(right\)集合之间两两没有交集。

每个节点能代表的子串的长度范围是一段连续的区间。这很好理解，因为它们的结束位置都是相同的。

我们求出每个节点能代表的最长串的长度（即\(len(x)\)）了，那最短长度呢？其实就等于后缀父亲节点的\(len+1\)。也就是说，所有本质不同的子串的数量等于\(\sum len(x)-len(fa(x))\)。

总结

以上就是SAM的基本性质~对于一道特定的题，你可能需要通过上面的性质推出你需要的新性质。如果你还有什么疑问可以向我留言，我（在退役前）会在一天之内回复的！（你也可以去问更强的boshi和litble，别去问zyf因为他已经退役了。）

题单我就不给了，因为网上有很多很多。。。

当然，如果你立志要当大佬。。。那赶紧打开陈立杰的ppt吧=。=

感谢您的观看qwq！