The Battle of Chibi

The Battle of Chibi

给出一段长度为n的序列\(\{a_i\}\)，求其中长度为m的严格上升子序列个数\(mod\ 10^9+7\),\(n\leq 10^3\)。

解

不难想到设\(f[i][j]\)表示以第i个位置结尾，长度为j的LSIS，因此我们有

\[f[i][j]=\sum_{k=1,a_i>a_k}^{i-1}f[k][j-1]
\]

边界：\(f[i][1]=1,i=1,2,...,n\)，其余为0

答案：\(\sum_{i=1}^nf[i][m]\)

注意到这是\(O(n^3)\)算法，优先考虑转移优化，问题实际上是要寻找前面\(a_k\)小于\(a_i\)的f前缀和，考虑给a排序，也就是给a离散化，在离散化的数组里面建立前缀和数据结构（如线段树，树状数组），每次在对应的位置上查询修改前缀和，于是可以优化为\(O(n^2log^n)\)

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define il inline
#define ri register
#define yyb 1000000007
using namespace std;
struct Map{
    int a[1001],b[1001],n;
    il void prepare(int m,int ar[]){
        n=m;
        for(ri int i(1);i<=n;++i)
            a[i]=ar[i];sort(a+1,a+n+1);
        for(ri int i(1);i<=n;++i)b[i]=dfs(ar[i]);
    }
    il int look(int x){
        return b[x];
    }
    il int dfs(int x){
        int l(1),mid,r(n);
        while(l<=r){
            mid=l+r>>1;
            if(x>a[mid])l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }return l;
    }
}L;
struct lowbit{
    int n,a[1001];
    il void prepare(int m){
        n=m,memset(a,0,sizeof(a));
    }
    il void change(int p,int v){
        while(p<=n)(a[p]+=v)%=yyb,p+=-p&p;
    }
    il int ask(int p){
        int ans(0);
        while(p)(ans+=a[p])%=yyb,p-=-p&p;return ans;
    }
}ar;
int a[1001],dp[1001][1001];
il void read(int&),work();
int main(){
    int lsy,i;read(lsy);
    for(i=1;i<=lsy;++i)printf("Case #%d: ",i),work();
    return 0;
}
il void work(){
    int n,m;read(n),read(m);
    for(int i(1);i<=n;++i)read(a[i]);
    L.prepare(n,a),memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i(1);i<=n;++i)dp[i][1]=1;
    for(int i,j(2);j<=m;++j){
        ar.prepare(n);
        for(i=1;i<=n;++i)
            dp[i][j]=ar.ask(L.look(i)-1),
                ar.change(L.look(i),dp[i][j-1]);
    }int ans(0);
    for(int i(1);i<=n;++i)(ans+=dp[i][m])%=yyb;
    printf("%d\n",ans);
}
il void read(int &x){
    x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}