题解【洛谷P3951】[NOIP2017]小凯的疑惑

题目描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有 无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。

输入输出格式

输入格式

两个正整数 \(a\) 和 \(b\)，它们之间用一个空格隔开，表示小凯中金币的面值。

输出格式

一个正整数 \(N\)，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。

输入输出样例

输入样例#1

3 7

输出样例#1

11

说明

输入输出样例1 说明

小凯手中有面值为\(3\)和\(7\)的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为\(1,2,4,5,8,11\) 的物品，其中最贵的物品价值为 \(11\)，比 \(11\) 贵的物品都能买到，比如：

\(12 = 3 \times 4 + 7 \times 0\)

\(13 = 3 \times 2 + 7 \times 1\)

\(14 = 3 \times 0 + 7 \times 2\)

\(15 = 3 \times 5 + 7 \times 0\)

数据范围与约定

对于 \(30\%\) 的数据：\(1 \le a,b \le 50\)。

对于 \(60\%\) 的数据：\(1 \le a,b \le 10^4\)。

对于 \(100\%\) 的数据：\(1 \le a,b \le 10^9\)。

题解

这是一道很好的猜结论数论题。

看到样例，不是\(3 \times 7 - 10 = 11\)吗？于是，我们大胆地提交了刚才的结论所对应的代码。

咦？怎么没有\(AC\)？仔细一看数据范围：\(1 \le a,b \le 10^9\)，\(10^9 \times 10^9\)不是爆了\(int\)吗？于是赶快把\(int\)改为\(long\) \(long\)。

于是，我们就\(AC\)了！

不过，我们还是要证明一下刚才的结论：

设币值分别为\(a\)、\(b\)。

容易得到：\(a \times b\)肯定可以用这两个币值表示出来。

\(a \times b - a\)呢？当然也可以，用\(b - 1\)张\(a\)就可以了。

\(a \times b - b\)呢？当然也可以，用\(a - 1\)张\(b\)就可以了。

\(a \times b - a - b\)呢？貌似不能了。

因式分解一下：

\(a \times b - a - b\)

\(= a(b - 1) - b\)

\(= a(b - 1) - (b - 1) - 1\)

\(=(a - 1)(b - 1) - 1\)

分不了了，说明\(a \times b - a - b\)不能用币值为\(a\)、\(b\)的钱凑出来。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cctype>

using namespace std;

inline long long gi()
{
    long long f = 1, x = 0; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();}
    return f * x;
}

long long a, b;

int main(void)
{
    a = gi(), b = gi();
    cout << a * b - a - b;
    return 0;
}