Georgia and Bob

Georgia and Bob

给出一个严格递增的正整数数列\(\{a_i\}\)，每一次操作可以对于其中任意一个数减去一个正整数，但仍然要保证数列的严格递增性，现在两名玩家轮流操作，不能操作的玩家判负，询问先手是否能够必胜。

解

注意到除去严格递增性后，就是Nim游戏了，所以问题主体依赖于Nim定理，于是要设法转化为Nim游戏，这里采取捆绑法，也就是阶梯博弈，从最后一个数开始，每两个作为一对，第一个如果无数捆绑，则与0捆绑。

此时，对手如果对一对数中的前一个进行操作，你必然可以对这对数的后一个数进行同样的操作，即减掉相同的数，因此相对位移不会发生改变，而对手或者你对一对数中的后一个数进行操作，即改变了两个数的相对位移，所以实际上发生改变的，也就是影响最终局面的也就是相对位移。

于是我们可以排好序，捆绑好数，算出相对位移，套用Nim定理即可。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define il inline
#define ri register
using namespace std;
int p[1001];
il void read(int&);
int main(){
    int lsy,n,i,ans;read(lsy);
    while(lsy--){read(n);
        for(i=1;i<=n;++i)read(p[i]);
        sort(p+1,p+n+1),ans&=0;
        for(i=n;i>0;i-=2)ans^=(p[i]-p[i-1]-1);
        puts(ans?"Georgia will win":"Bob will win");
    }
    return 0;
}
il void read(int &x){
    x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}