http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3329

题意:
现在有三个骰子,分别有k1,k2和k3面,面上的点就是1~ki。每次扔骰子,如果这三个骰子的值分别对应为a,b,c,那么将值初始化为0,否则就将三个骰子的点值和相加。求大于等于n的扔骰子次数期望。

思路:

这道题目主要在于推公式,看着别人的题解想了好久。

先设$E(i)$为此时和为i时还需要的期望,易得(1):$E(i)=\sum (E(i+k)P(k))+E(0)P(0)+1$(这里$P(k)$为点值和为k的概率,$P(0)$就是对应a,b,c的概率)。

现在我们要求解的是$E(0)$,而且发现每个式子中都会包含$E(0)$。

当遇到这样的情况时我们可以先假设一下,假设(2):$E(i)=A(i)E(0)+B(i)$,那么(3):$E(i+k)=A(i+k)E(0)+B(i+k)$。

将(3)式带入(1)式,得(4):$E(i)=(\sum (A(i+k)P(k))+P(0))*E(0)+\sum (B(i+k)P(k))+1$。

将(2)式和(4)式作比较,可得:

(5):$A(i)=\sum (A(i+k)P(k))+P(0)$

(6):$B(i)=\sum (B(i+k)P(k))+1$

而由(2)式我们又可以推出$E(0)=\frac{B(0)}{1-A(0)}$。

所以现在要的就是A(0)和B(0)的值,这个很简单,由(5)、(6)递推得到即可。

 #include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn=+; int n,k1,k2,k3,a,b,c;
double p0;
double A[maxn],B[maxn],p[maxn]; int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
cin>>n>>k1>>k2>>k3>>a>>b>>c;
memset(p,,sizeof(p));
p0=1.0/k1/k2/k3;
for(int i=;i<=k1;i++)
for(int j=;j<=k2;j++)
for(int t=;t<=k3;t++)
{
if(i==a && j==b && t==c) continue;
p[i+j+t]+=p0;
}
for(int i=n;i>=;i--)
{
A[i]=p0,B[i]=;
for(int t=;t<=k1+k2+k3;t++)
{
if(i+t>n) continue;
A[i]+=A[i+t]*p[t];
B[i]+=B[i+t]*p[t];
}
}
printf("%.16f\n",B[]/(-A[]));
}
return ;
}

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