求逆序数的方法--线段树法&归并排序法

逆序数的概念：对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个 不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。

解决思路：

HDU-1394

1、线段树：通过保存区间内数的出现次数，每次插入一个数前把比它小（大）的区间内的总数累加。

 //求逆序数 线段树法
 //原理，因为输入是依次输入的，所以每次输入一个数，只要查找比这个数小数的个数并累加就行了。
 //顺序查找的复杂度是O(n)，很容易想到用线段树保存每个数的出现次数，每次输入在比他小（大）的区间中查找总数就行了
 #include <iostream>
 #define N 5010
 using namespace std;
 int tree[N<<];//线段树保存了每个区间内数字出现总数
 void CreatTree(int node,int l,int r)
 {
     if(l==r)
     {
         tree[node]=;
         return ;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     CreatTree(node<<, l, mid);
     CreatTree(node<<|, mid+, r);
     tree[node]=tree[node<<]+tree[node<<|];
 }
 void Insert(int node,int num,int l,int r)
 {
     if(l==num&&r==l)
     {
         tree[node]++;
         return ;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     if(num<=mid)
         Insert(node<<, num, l, mid);
     else
         Insert(node<<|, num, mid+, r);
     tree[node]=tree[node<<]+tree[node<<|];
 }
 int Query(int node,int ql,int qr,int l,int r)
 {
     if(qr<ql)
         return ;
     if(ql<=l&&r<=qr)
         return tree[node];
     int mid=(l+r)>>;
     int rec=;
     if(ql<=mid)
         rec+=Query(node<<, ql, qr, l, mid);
     if(qr>mid)
         rec+=Query(node<<|, ql, qr, mid+, r);
     return rec;
 }
 int main(int argc, const char * argv[]) {
     int n;
     while(cin>>n)
     {
         int ans=,temp;
         int num[N];
         CreatTree(, , n-);
         for(int i=;i<n;i++)
         {
             cin>>temp;
             num[i]=temp;
             Insert(, temp, , n-);
             ans+=Query(, temp+,n-, , n-);
         }
         int sum=ans;
         for(int i=;i<n;i++)
         {
             ans=ans-num[i]+n-num[i]-;
             if(ans<sum)
                 sum=ans;
         }
         cout<<sum<<endl;
     }
     return ;
 }

2、归并排序：归并排序过程中，如果左序列的第j个值大于有序列第k个值，那么j~lenl的值都大于k，所以每次ans+=

id-(left+j)+1。完成整个归并排序，就可以统计所有逆序数对的数量。

 //求逆序数 归并排序法
 //在归并排序过程中，每次对左右两个有序数列排序时，如果左边序列的第j个值大于右边序列k个值
 //那么说明左边序列的j~lenl个值都大于第k个值，所以把其加到ans中
 #include <iostream>
 #define N 5010
 using namespace std;
 bool cmp(int a,int b)
 {
     return a<=b;
 }
 int ans;
 void MergeArr(int num[], int left, int mid, int right)
 {
     int AL[N], AR[N],lenl=mid-left+,lenr=right-mid;
     for (int i = ;i < lenl;i++)
         AL[i] = num[left + i];
     for (int i = ;i < lenr;i++)
         AR[i] = num[mid +  + i];
     int j = , k = ,pos=left;
     while (j < lenl&&k < lenr)
     {
         if (cmp(AL[j], AR[k]))
             num[pos++] = AL[j++];
         else
             num[pos++] = AR[k++],ans+=mid-(left+j)+;//关键步骤
     }
     while (j < lenl)
         num[pos++] = AL[j++];
     while (k < lenr)
         num[pos++] = AR[k++];
 }
 void MergeSort(int num[], int left, int right)
 {
     if (left < right)
     {
         int mid = (right + left) / ;
         MergeSort(num, left, mid);
         MergeSort(num, mid+, right);
         MergeArr(num, left, mid, right);
     }
 }
 int main() {
     int n;
     while(cin>>n)
     {
         ans=;
         int num[N],temp[N];
         for(int i=;i<n;i++)
             cin>>num[i],temp[i]=num[i];
         MergeSort(temp, , n-);
         int sum=ans;
         for(int i=;i<n;i++)
         {
             ans=ans-num[i]+n-num[i]-;
             if(ans<sum)
                 sum=ans;
         }
         cout<<sum<<endl;
     }
     return ;
 }