(转载)-关于sg函数的理解

最近学习了nim博弈，但是始终无法理解sg函数为什么sg[S]=mex(sg[S'] | S->S'),看到一篇博文解释的不错，截取了需要的几章节。

四、Sprague-Grundy数的提出

　　我们以Flip Game为例，研究一下胜态还有什么更深入的性质。

　　状态“++”是最简单的胜态，它只有一种走法，结果是败态。状态“+++”跟“++”在这一点上是一样的，因此它们其实是等价状态。状态“++++”就有两种不同的走法（对称的走法算同一种）：一是把中间两个加号变成减号，这样得到的次态“+--+”是个败态；二是把某一端的两个加号变成减号，这样得到的次态“--++”或“++--”（等价于“++”）是个胜态。

　　于是我们发现了两种不同的胜态。像“++”、“+++”这样，只能变成败态的胜态，我们称之为“一级胜态”。像“++++”这样，可以变成败态，也可以变成一级胜态的胜态，我们称之为“二级胜态”。类似地，如果一个胜态可以变成败态，也可以变成1至n-1级的所有胜态，则我们称之为“n级胜态”。而败态可以称为“零级”。

　　我们看一下胜态的组合是否与级数有关。两个一级胜态的组合是败态，因为先手玩家的任意一步行动都会将其中一个胜态变为败态，留给后手玩家的就是胜态与败态组合成的胜态。一个一级胜态与一个二级胜态的组合是胜态，因为先手玩家可以将二级胜态变为一级胜态，留给后手玩家的就是两个一级胜态组合成的败态。两个二级胜态组合成的胜态也是败态，因为先手玩家无论将其中一个二级胜态变成败态还是一级胜态，留给对方的组合都是胜态。

　　我们似乎发现了一个规律：两个同级胜态的组合是败态，两个不同级胜态的组合是胜态。没错！考察两个同级胜态的组合，无论先手玩家如何降低其中一个胜态的级数（甚至将其变成零级的败态），后手玩家总可以将另一个胜态降到同一级，最终先手玩家将面对两个败态组合成的败态。而若先手玩家面对的是两个不同级的胜态，他就总可以将其中较高级的胜态降至与较低级的胜态同级，这样留给后手玩家的就是败态。

　　上面对于胜态等级的定义有一个漏洞：如果一个胜态A可以变成败态或二级胜态，但不能变成一级胜态，那么它应该算一级还是三级呢？规律的证明过程同样也有一个漏洞：我们默认了一步行动只能让胜态的级数降低，那么能不能让胜态的级数升高呢？注意到规律证明过程的关键，在于如果要降低一个胜态的级数，则可以降低到任一级。于是我们就知道，上面的状态A应当定义为一级胜态。这导致胜态的级数可以升高，不过没关系，可以这样弥补规律证明的漏洞：在两个同级胜态的组合下，若先手玩家升高了其中一个胜态的级数，则后手玩家可以将它降回原级，这样两个同级胜态的组合仍是败态。

　　通过定义胜态的级数，我们解决了两个胜态组合而成的母状态的胜负判定问题。事实上，我们定义的“级数”，就是传说中的Sprague-Grundy数（简称SG数）。SG数是一个从状态映射到非负整数的函数，它的形式化定义如下：

　　★ 

式中A、B代表状态，代表B是A的一个次态。mex是一个定义在集合上的函数，表示不属于集合的最小非负整数，它是minimum excludant的缩写。这个定义用通俗的语言表达，就是说一个状态的SG数，等于它的次态取不到的最小SG数。

五、状态组合时Sprague-Grundy数的运算规则

5.1 规则的发现

　　有了SG数，我们就可以判断任意两个子状态组合成的母状态的胜负了。但是，如果一个母状态是由三个子状态组成的，怎么办？我们发现，仅仅判断两个子状态组合成的母状态的胜负是不够的，我们还需要求出母状态的SG数。在下文中，我们用表示SG数分别为a、b的两个子状态组合成的母状态的SG数为c，我们的目标，就是弄清运算的法则。当然，我们这么写默认了由子状态的SG数可以唯一确定母状态的SG数，这一点其实未经证明。

　　依然从最简单的情况开始。两个败态的组合还是败态，也就是说。两个一级胜态的组合也是败态，即。一个败态和一个一级胜态的组合，我们可以考虑最简单的情况：败态是终局态，不能再改变；而一级胜态只能变成败态。显然，这个组合的次态只能是两个败态组成的败态，故它本身是一级胜态，即。

　　——，，，聪明的读者，你看出规律了吗？

　　如果你没看出规律，或者不相信你看出的规律，我们可以再算几个SG数稍微大一点儿的情况。考虑最简单的败态和二级胜态的组合：败态不能变化，二级胜态只能变成一级胜态或败态，于是组合的次态的SG数只能是或。这说明败态和二级胜态的组合是二级胜态，即。同理可得。再看胜态和胜态的组合。前面已经得到，两个同级胜态的组合为败态，故。那么两个不同级胜态的组合呢？

• 的次态可能是、、，次态的SG数中0、1、2俱全，故。
• 的次态可能是、、、，次态的SG数缺少2，故。
• 的次态可能是、、、、，次态的SG数缺少1，故。

　　现在看出规律了吗？相信了吗？

　　我们再换个角度，看看我们已经得到了运算的哪些性质：

1. 交换律：显然；
2. 结合律：显然；
3. 归零律：因为两个同级胜态的组合为败态；
4. 恒等律：本节已用最简单的情况说明。

具有这四个性质的二元运算是什么呢？是异或！

　　到此为止，我们通过举例的方法，发现了状态的组合对应着SG数的异或。不过，我们并没有证明通过子状态的SG数能够唯一确定母状态的SG数（即运算结果的唯一性），也没有证明异或是能够达到这个目的的唯一一种运算。下面，我们就通过SG数和状态组合的定义，证明状态的组合对应着SG数的异或，即，其中加号表示状态的组合，号表示异或。

5.2 规则的证明

　　由SG数的定义，有。由状态组合中子状态的独立性，可知状态必能拆成或的形式，其中，。于是有：

　　★ 

下面，我们想要把右边的和换成和。但这正是我们要证明的结论呀！怎么办呢？可以用数学归纳法。不过，由于SG数在游戏过程中可能会增加，不能按SG数本身的顺序来归纳。但是，由于游戏是有限的，游戏的所有状态可以进行拓扑排序，这个顺序的逆序可以用作归纳的顺序。这样，我们就可以放心地进行代换了：

　　★ 

下面要证明的，就是不属于右边两个集合中的任意一个，但比它小的正整数都属于两个集合中的某一个。为书写简便，用代替。

　　先看本身。由SG数的定义，既然，，故，，故两个集合均不包含。再看比小的任意非负整数。定义，则用与三者异或，至少使得其中一者减小（因为非零，的二进制表示中最高位的1必来自三者之一，与这一者异或会使它减小）。但这一者不会是，因为。不妨设这一者是，即。此时，可取的一个次态使得，由SG数的定义，这是一定能做到的。这就证明了，都属于右边两个集合之一，故。

　　（最后一段的证明思路来自维基百科Nimber词条）

六、Sprague-Grundy定理的完整表述

　　下面给出Sprague-Grundy定理的完整表述：

　　若一个游戏满足以下条件：
　　1. 双人、回合制；
　　2. 信息完全公开（perfect information）；
　　3. 无随机因素（deterministic）；
　　4. 必然在有限步内结束，且每步的走法数有限（finite）；
　　5. 没有平局；
　　6. 双方可采取的行动及胜利目标都相同（impartial）；
　　7. 这个胜利目标是自己亲手达成终局状态，或者说走最后一步者为胜（normal play）；
则游戏中的每个状态可以按如下规则赋予一个非负整数，称为Sprague-Grundy数：
　　★  
（式中A、B代表状态，代表A状态经一步行动可以到达B状态，mex表示一个集合所不包含的最小非负整数）。SG数有如下性质：
　　1. SG数为0的状态，后手必胜；SG数为正的状态，先手必胜；
　　2. 若一个母状态可以拆分成多个相互独立的子状态，则母状态的SG数等于各个子状态的SG数的异或。

　　利用Sprague-Grundy定理，可以将记忆化搜索的程序优化成如下形式：

mem = {}
def SG(A):                      # 求状态A的SG数
    if A not in mem:
        S = sub_states(A)       # sub_states(A)将A尽可能细致地拆分成子状态
        if len(S) > 1:          # A可以拆分，用子状态的异或求其SG数
            mem[A] = reduce(operator.xor, [SG(B) for B in S])
        else:                   # A不可拆分，根据定义求其SG数
            mem[A] = mex(set(SG(B) for B in next_states(A)))
                                # next_states(A)返回A的所有次态
                                # 注意这条语句蕴含了“终局态的SG数为0”
    return mem[A]

这段程序中的状态只包含棋盘信息，不包含“下面轮到谁”。其中mex函数的实现十分平凡，从略。

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10833 更新：

　　受这个问题启发，我加强了Sprague-Grundy定理中的两个条件：

• 一是“有限”：原先我只要求“游戏在有限步内结束”，这次添加了“每步的走法数也有限”；
• 二是“impartial”：原先我只要求“双方可采取的行动相同”，这次添加了“双方的胜利目标也相同”。

　　另外，我补充了第二部分结尾处代码遗漏的递归终止条件。