图像处理中的 Gaussina Blur 和 SIFT 算法

Gaussina Blur 高斯模糊

高斯模糊的数学定义

高斯模糊是通过 高斯核(Gaussian Kernel) 对图像进行卷积操作实现的. 二维高斯函数定义为

\[G(x, y, \sigma) = \frac{1}{2\pi \sigma^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}}
\]

其中：

• \((x, y)\) 是像素点的坐标
• \(\sigma\) 是高斯核的标准差, 控制模糊程度\(\sigma\) 越大, 图像越模糊

高斯模糊计算的 Python 实现

以下是使用 OpenCV 计算不同尺度高斯模糊的代码

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取图像
img = cv2.imread('00001.jpg', cv2.IMREAD_COLOR_RGB)

# 定义高斯核的尺度（σ值）
sigma_values = [1.0, 1.6, 2.0, 2.5, 3.0]  # 示例σ值

# 对每个σ值进行高斯模糊
blurred_images = []
for sigma in sigma_values:
    # 高斯核大小（通常根据σ自动计算，如 ksize=(0,0)）
    blurred = cv2.GaussianBlur(img, (0, 0), sigmaX=sigma, sigmaY=sigma)
    blurred_images.append(blurred)

# 显示结果
plt.figure(figsize=(15, 8))
# 原图
plt.subplot(2, 3, 1)
plt.imshow(img)
plt.title('original')
plt.axis('off')
# 模糊处理过的图
for i, (sigma, blurred) in enumerate(zip(sigma_values, blurred_images)):
    plt.subplot(2, 3, i+2)
    plt.imshow(blurred, cmap='gray')
    plt.title(f'σ={sigma}')
    plt.axis('off')
plt.tight_layout()
plt.show()

• cv2.GaussianBlur(img, ksize, sigmaX)
  • ksize=(0,0) 时, OpenCV 会根据 \(\sigma\) 自动计算核大小, 通常为 \(6\sigma + 1\)
  • sigmaX 和 sigmaY 是高斯核在 X 和 Y 方向的标准差, 通常设为相同值

高斯核矩阵

在实际计算中, 高斯核需要离散化为一个二维矩阵. 例如, 当 \(\sigma = 1.0\) 时, 一个 3×3 的高斯核可能如下

\[K = \frac{1}{16}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 4 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]

手动计算高斯核的示例

import cv2
import numpy as np

# 生成二维高斯核
def gaussian_kernel(size, sigma):
    kernel = np.zeros((size, size))
    # // 是整数除法运算符, 会将结果向下取整到最接近的整数
    center = size // 2
    for x in range(size):
        for y in range(size):
            dx, dy = x - center, y - center
            kernel[x, y] = np.exp(-(dx**2 + dy**2) / (2 * sigma**2))
    kernel /= kernel.sum()  # 归一化
    return kernel

# 生成 σ=1.5 的 5x5 高斯核
kernel = gaussian_kernel(5, 1.5)
print(kernel)

矩阵中各元素的数值构成了一个三维高斯曲面, 中心点最高, 呈钟形向四周降低

SIFT(Scale-Invariant Feature Transform)算法

SIFT(Scale-Invariant Feature Transform)算法是一种用于图像处理中的局部特征提取方法, 具有尺度、旋转和光照不变性, 因为其结果稳定性和较高的精度在图像匹配中广泛应用. SIFT的缺点是计算复杂度较高, 在一些需要实时处理的场景被快速算法如SURF, ORB等替代. 在 COLMAP 中, 提取特征量和匹配基于的就是 SIFT 算法.

1. 尺度空间极值检测(Scale-Space Extrema Detection)

目的: 在多尺度空间中寻找关键点(潜在的特征点)

• 构建高斯金字塔
  • 对图像进行不同尺度的高斯模糊(通过高斯卷积核 $ G(x,y,\sigma) $), 生成多组(Octave)图像. 每组包含多层(Interval), 尺度按 $ k\sigma $ 递增(如 $ \sigma, k\sigma, k^2\sigma $).
    • 不同尺度的高斯模糊是通过对图像应用不同标准差 \(\sigma\) 的高斯核进行卷积计算得到的
  • 下一组的图像由上一组降采样(如尺寸减半)得到.
• 构建高斯差分金字塔(DoG)
  • 对同一组内相邻尺度的高斯图像相减, 得到 $ D(x,y,\sigma) = L(x,y,k\sigma) - L(x,y,\sigma) $
  • DoG用于近似拉普拉斯算子(LoG), 效率更高.
• 检测极值点
  • 每个像素与同一层相邻的8个像素及上下相邻层的18个像素(共26个)比较, 判断是否为局部极大/极小值.

2. 关键点定位(Keypoint Localization)

目的: 精确定位关键点, 去除低对比度或边缘响应点

• 泰勒展开精确定位
  • 通过泰勒展开拟合DoG函数, 找到极值点的亚像素级位置(偏移量 $ \hat{x} $)
  • 若 $ |D(\hat{x})| $ 小于阈值(如0.03), 则视为低对比度点, 剔除
• 边缘响应剔除
  • 利用Hessian矩阵计算曲率, 剔除边缘响应强的点(主曲率比值大的点)
  • 若 $ \frac{\text{Tr}(H)^2}{\text{Det}(H)} > \frac{(r+1)^2}{r} $(通常 $ r=10 $), 则剔除

3. 方向分配(Orientation Assignment)

目的: 将关键点方向归一化处理, 以实现旋转不变性

• 计算梯度幅值和方向
  • 在关键点所在高斯尺度图像上, 计算邻域窗口内像素的梯度:
    \[m(x,y) = \sqrt{(L(x+1,y)-L(x-1,y))^2 + (L(x,y+1)-L(x,y-1))^2}
    \]
    \[\theta(x,y) = \tan^{-1}\left( \frac{L(x,y+1)-L(x,y-1)}{L(x+1,y)-L(x-1,y)} \right)
    \]
• 生成方向直方图
  • 将360°分为36柱(每柱10°), 加权统计梯度幅值(权重为高斯窗口和梯度幅值).
  • 取主峰(最高峰值)和80%以上主峰的次峰作为关键点方向.

4. 关键点描述符(Descriptor Generation)

目的: 在方向归一化处理后, 通过划分子块生成关键点的特征向量

• 旋转坐标轴: 将邻域窗口旋转至关键点主方向.
• 划分子区域: 将16×16的窗口分为4×4的子块(共16块).
• 计算子块梯度直方图:
  • 每个子块内计算8方向的梯度直方图(共8维).
  • 16个子块 × 8方向 = 128维特征向量.
• 归一化处理:
  • 对特征向量归一化, 减少光照影响, 并截断大于0.2的值以增强鲁棒性.

5. 关键点匹配

• 通过欧氏距离(如最近邻算法)比较两幅图像的SIFT描述符
• 使用最近邻距离比(NNDR, 如 $ \frac{d_1}{d_2} < 0.8 $)筛选匹配点, 提升匹配精度.

在Python代码中通过OpenCV使用SIFT算法

提取关键点

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取图像（转为灰度图）
img = cv2.imread('00001.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 初始化 SIFT 检测器
sift = cv2.SIFT_create()

# 检测关键点并计算描述符
keypoints, descriptors = sift.detectAndCompute(img, None)

# 绘制关键点
img_with_keypoints = cv2.drawKeypoints(
    img,
    keypoints,
    None,
    flags=cv2.DRAW_MATCHES_FLAGS_DRAW_RICH_KEYPOINTS
)

# 显示结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.imshow(img_with_keypoints, cmap='gray')
plt.title('SIFT Keypoints')
plt.axis('off')
plt.show()

双图关键点匹配

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取两张图像
img1 = cv2.imread('00001.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
img2 = cv2.imread('00006.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 初始化 SIFT
sift = cv2.SIFT_create()

# 计算关键点和描述符
kp1, desc1 = sift.detectAndCompute(img1, None)
kp2, desc2 = sift.detectAndCompute(img2, None)

# 使用 BFMatcher（Brute-Force 匹配器）
bf = cv2.BFMatcher(cv2.NORM_L2, crossCheck=True)
matches = bf.match(desc1, desc2)

# 按距离排序，取最优匹配
matches = sorted(matches, key=lambda x: x.distance)

# 绘制前 50 个匹配点
matched_img = cv2.drawMatches(
    img1, kp1,
    img2, kp2,
    matches[:10],
    None,
    flags=cv2.DrawMatchesFlags_NOT_DRAW_SINGLE_POINTS
)

# 显示匹配结果
plt.figure(figsize=(15, 8))
plt.imshow(matched_img, cmap='gray')
plt.title('SIFT Feature Matching')
plt.axis('off')
plt.show()