【剑指Offer学习】【面试题36：数组中的逆序对】

题目：在数组中的两个数字假设前面一个数字大于后面的数字。则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组。求出这个数组中的逆序对的总数。

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举例分析

　　比如在数组｛7, 5, 6, 4 中， 一共存在5 个逆序对，各自是（7, 6）、（7。5），(7, 4）、（6, 4）和（5, 4）。

解题思路：

第一种：直接求解

　　顺序扫描整个数组。

每扫描到一个数字的时候，逐个比較该数字和它后面的数字的大小。假设后面的数字比它小。则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n 个数字。因为每个数字都要和O(n）个数字作比較。 因此这个算法的时间复杂度是O(n^2)。

另外一种：分析法

　　我们以数组｛7, 5, 6, 4｝为例来分析统计逆序对的过程。

每次扫描到一个数字的时候，我们不能拿它和后面的每个数字作比較。否则时间复杂度就是O(n^5)。因此我们能够考虑先比較两个相邻的数字。

　　如图5 . 1 ( a )和图5.1 ( b）所看到的，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组， 再把这两个子数组分别拆分成两个长度为1 的子数组。

接下来一边合并相邻的子数组， 一边统计逆序对的数目。

在第一对长度为1 的子数组｛7｝、｛5｝中7 大于5 。 因此（7, 5）组成一个逆序对。相同在第二对长度为1 的子数组｛6｝、｛4｝中也有逆序对（6, 4）。

因为我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此须要把这两对子数组排序（ 图5.1 ( c）所看到的）。以免在以后的统计过程中再反复统计。

注　图中省略了最后一步。 即复制第二个子数组最后剩余的4 到辅助数组中.

(a) P1指向的数字大于P2指向的数字，表明数组中存在逆序对．P2 指向的数字是第二个子数组的第二个数字。 因此第二个子数组中有两个数字比7 小． 把逆序对数目加2，并把7 拷贝到辅助数组，向前移动P1和P3.

(b) P1指向的数字小子P2 指向的数字，没有逆序对．把P2 指向的数字拷贝到辅助数组。并向前移动P2 和P3 .

(c) P1指向的数字大于P2 指向的数字，因此存在逆序对． 因为P2 指向的数字是第二个子数组的第一个数字，子数组中仅仅有一个数字比5 小． 把逆序对数目加1 ，并把5拷贝到辅助数组。向前移动P1和P3 .

　　接下来我们统计两个长度为2 的子数组之间的逆序对。我们在图5.2 中细分图5.1 ( d）的合并子数组及统计逆序对的过程。

　　我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比較两个指针指向的数字。假设第一个子数组中的数字大于第二个子数组中的数字，则构成逆序对，而且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数（如图5.2 (a)和图5.2 (c)所看到的）。假设第一个数组中的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对（如图5.2 (b)所看到的〉。每一次比較的时候。我们都把较大的数字从·后往前拷贝到一个辅助数组中去，确保辅助数组中的数字是递增排序的。在把较大的数字拷贝到辅助数组之后。把相应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比較。

　　经过前面具体的诗论。 我们能够总结出统计逆序对的过程：先把数组分隔成子数组， 先统计出子数组内部的逆序对的数目。然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。

在统计逆序对的过程中，还须要对数组进行排序。假设对排序贺。法非常熟悉。我们不难发现这个排序的过程实际上就是归并排序。

代码实现：

public class Test36 {

    public static int inversePairs(int[] data) {
        if (data == null || data.length < 1) {
            throw new IllegalArgumentException("Array arg should contain at least a value");
        }

        int[] copy = new int[data.length];
        System.arraycopy(data, 0, copy, 0, data.length);

        return inversePairsCore(data, copy, 0, data.length - 1);
    }

    private static int inversePairsCore(int[] data, int[] copy, int start, int end) {

        if (start == end) {
            copy[start] = data[start];
            return 0;
        }

        int length = (end - start) / 2;
        int left = inversePairsCore(copy, data, start, start + length);
        int right = inversePairsCore(copy, data, start + length + 1, end);

        // 前半段的最后一个数字的下标
        int i = start + length;
        // 后半段最后一个数字的下标
        int j = end;
        // 開始拷贝的位置
        int indexCopy = end;
        // 逆序数
        int count = 0;

        while (i >= start && j >= start + length + 1) {
            if (data[i] > data[j]) {
                copy[indexCopy] = data[i];
                indexCopy--;
                i--;
                count += j - (start + length); // 相应的逆序数
            } else {
                copy[indexCopy] = data[j];
                indexCopy--;
                j--;
            }
        }

        for (; i >= start;) {
            copy[indexCopy] = data[i];
            indexCopy--;
            i--;
        }

        for (; j >= start + length + 1;) {
            copy[indexCopy] = data[j];
            indexCopy--;
            j--;
        }
        return count + left + right;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] data = {1, 2, 3, 4, 7, 6, 5};
        System.out.println(inversePairs(data)); // 3
        int[] data2 = {6, 5, 4, 3, 2, 1};
        System.out.println(inversePairs(data2)); //  15
        int[] data3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
        System.out.println(inversePairs(data3)); // 0
        int[] data4 = {1};
        System.out.println(inversePairs(data4)); // 0
        int[] data5 = {1, 2};
        System.out.println(inversePairs(data5)); // 0
        int[] data6 = {2, 1};
        System.out.println(inversePairs(data6)); // 1
        int[] data7 = {1, 2, 1, 2, 1};
        System.out.println(inversePairs(data7)); // 3
    }
}

执行结果