Streaming Principal Component Analysis in Noisy Settings

论文背景：

• 面对来袭的数据，连续样本不一定是不相关的，甚至不是同分布的。
• 当前，大部分在线PCA都只关注准确性，而忽视时效性！
• 噪声？数据缺失，观测有偏，重大异常？

论文内容：

Section 2

Online Settings
Online PCA, 就是在观察到\(x1, x2, x3, \dots, x_{t-1}\)后，“构造”一个\(k-\)维的子空间，通常用投影矩阵\(P^{(t)}\)表示——为了最小化残差\(\|x_t - P^{(t)}\|^2\)
这篇论文重点在于界的分析，考虑下面的“遗憾”（大概就是误差的意思）：
\(R(T,P) = \mathop{\sum}\limits_{t=1}^{T}x_t^{\top}Px_t-\mathop{\sum}\limits_{t=1}^{T}x_t^{\top}P^{(t)}x_t\)
其中P为任意的rank-k的正交投影矩阵，T为迭代次数。
\(R(T,P)\)的界是次线性的，所以，我们可以通过\(\frac{1}{T}R(T,P)\)来计算算法到达\(\varepsilon-\)界所需的时间，从而衡量算法的优劣。
Matrix gradient descent (MGD)

1. 将非凸条件放松为凸条件：
   \(C =\lbrace P: Tr(P):=k, 0\preceq P \preceq I, P = P^{\top} \rbrace\)
2. \(P^{t+1} = \prod_F(P^{t} + \eta g_t^{\top})\) Here
3. 学习后的\(P\),不一定满足原来的凸条件（投影), 故:
   \(\hat{P}^{t} = rounding(P^{t})\)

对于这个算法并不了解，姑且只能这么想了。点这里
下面是关于（遗憾）的一个界：

Stochastic Settings
在某些情况下，MGD算法复杂度比较高，所以，在额外的假设下，利用Oja的另外一种算法可能会比较有优势。
The additional assumption that \(x_t\) are sampled i.i.d. from some unknown distribution \(D\) and that \(\|x_t\|\leq1\) almost surely.
最近已经有相关方面的论文指出，在\(k=1\)的条件下，这个算法也可以到达次线性。

Section 3 corrupted gradients
在这一节，论文讲关于梯度被“污染”的情形。
Online Setting
梯度被污染的原因：

1. 对于大数据不正确的运算
2. 分布式和并行运算中，异步和噪声通讯导致的误差
   此时的学习单位步长为：
   \(\hat{\mathrm{g}}_t = x_tx_t^{\top}+E_t\)

给出了下列定理：

Stochastic Setting

被污染的原因：数据被污染，设噪声向量为\(y_t\)，且与\(x_t\)独立。（k=1）
\(\hat{\mathrm{g}}_t = (x_t + y_t)(x_t + y_t)^{\top}\)

Section 4 Missing Entries

这一章，讲矩阵缺失数据的情形。
假设\(x_t\)的每个元素将按照\(q-Brtnoulli\)分布被保留，否则缺失。

Online Setting

此时，学习步长又变为:
\(\hat{\mathrm{g}}_t := \hat{x}_t\hat{x}_t^{\top} - z_tz_t^{\top}\)
论文中为上式取负，但更新\(P\)的时候又取负，所以我直接不变了。

有下面的界：

Stochastic Setting

在推导这个界的时候，似乎遇到了麻烦，新的迭代步长不能保证半正定，所以需要进行一个处理（因为证明都没看，所以不懂啊）。

给出了一个定理（k = 1）:

Section 5 Partial Observations

本节是讲观测偏差，\(x_t\)只有\(r<d\)个元素被观测到。

下面是对步长的分析与构造，但是，我对\(z\)的构造存疑，我觉得
\(z = \sqrt{\frac{d^2-dr}{r-1}}\widetilde{x}_{i_s}e_{i_s}\)

Online Setting

\(\hat{\mathrm{g}}_t\)同上

有下面的界:

Stochastic Setting

有下面的界(k=1):

Section 6 Robust streaming PCA

针对异常值，探讨如何使得算法变得“健壮”。

新的regret:

\(R_{abs}(T) = \mathop{\sum}\limits_{t=1}^{T}\|x_t-P^{t}x_t\|_2-\mathop{inf}\limits_{P\in P_k} \mathop{\sum}\limits_{t=1}^{T}\|x_t-Px_t\|_2\)
for any sequence \(x_1,\ldots,x_T \in \mathbb{R}^{d}\).
新的:
\(\mathrm{g}_t=-\frac{x_tx_t^{\top}(I-P^{(t)}) + (I-P^{(t)})x_tx_t^{\top}}{2\|(I-P^{(t)})x_t\|_2}\)
denote:
\(y_t = (I-P^{(t)})x_t\) and \(c_t = \frac{\eta}{2\|y_t\|_2}\)
\(P^(t+1) = \prod_F(P^{t} + c_t(x_ty_t^{\top}+y_tx_t^{\top}))\)

从而有下面定理：