【题解】The Great Divide [Uva10256]

【题解】The Great Divide [Uva10256]

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【题目描述】

输入多组数据，每组数据给定 \(n\) 个红点坐标和 \(m\) 个蓝点坐标，判断是否可以用一条直线将两种颜色的点完全隔离开（直线不能经过某个点）。

【输入】

每组数据第一行为两个整数 \(n,m\)，接下来 \(n+m\) 行每行两个整数 \(x,y\) 表示一个坐标，前 \(n\) 行为红点，后 \(m\) 行表示蓝点。

【输出】

如果存在这样一条直线输出 \(Yes\)，否则输出 \(No\) 。

【样例】

样例输入：
4 3
100 600
200 400
600 500
300 700
400 100
600 200
500 300
4 3
100 600
400 100
600 200
500 300
200 400
600 500
300 700
0 0
样例输出：
Yes
No

【数据范围】

\(100\%:\) \(1\leqslant n,m \leqslant 500,\) \(-1000 \leqslant x,y \leqslant 1000\)

【分析】

凡是遇到计算几何的题目，先画张图出来：

观察发现：如果存在一条合法直线，两部分点的凸包必定相离。

两多边形相离的条件有：

\((1).\) 属于不同多边形的任意两边都不相交。

\((2).\) 一个多边形上的任意点都不被另一个多边形所包含。

求凸包可以 \(O(n)\) 解决，由于数据范围比较小，暴力枚举两个凸包进行判断就可以了。

判断线段相交为 \(O(1)\)，\(PIP\) 可以用 \(O(n)\) 的射线法或者转角法，由于这里判断的是凸包，所以也可以用 \(O(logn)\) 的二分法，只是要注意凸包点集的顺序是顺时针还是逆时针，这里 \(WA\) 了无数遍。

时间复杂度为 \(O(n^3)/O(n^2logn)\) 。

【Code】

【射线法】

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LD double
#define LL long long
#define Vector Point
#define Re register int
using namespace std;
const int N=1e5+3;
const LD eps=1e-8;
int n,T;
inline int dcmp(LD a){return a<-eps?-1:(a>eps?1:0);}
struct Point{
    LD x,y;Point(LD X=0,LD Y=0){x=X,y=Y;}
    inline void in(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
};
inline LD Dot(Vector a,Vector b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}
inline LD Cro(Vector a,Vector b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
inline LD Len(Vector a){return sqrt(Dot(a,a));}
inline LD Angle(Vector a,Vector b){return acos(Dot(a,b)/Len(a)/Len(b));}
inline Point operator+(Point a,Vector b){return Point(a.x+b.x,a.y+b.y);}
inline Vector operator-(Point a,Point b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
inline Vector operator*(Vector a,LD x){return Vector(a.x*x,a.y*x);}
inline int pan_cross_LL(Point a,Point b,Point c,Point d){//判断两线段AB,CD是否相交
    LD c1=Cro(b-a,c-a),c2=Cro(b-a,d-a);
    LD d1=Cro(d-c,a-c),d2=Cro(d-c,b-c);
    return dcmp(c1)*dcmp(c2)<=0&&dcmp(d1)*dcmp(d2)<=0;//这里重合也要算
}
inline bool cmp1(Point a,Point b){return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;};//按坐标排序
struct Poly{
    int n,cnt;Point cp[N],Poi[N];
    inline int ConvexHull(Point *P,Re n,Point *cp){
        sort(P+1,P+n+1,cmp1);
        Re t=0;
        for(Re i=1;i<=n;++i){//下凸包
            while(t>1&&dcmp(Cro(cp[t]-cp[t-1],P[i]-cp[t-1]))<=0)--t;
            cp[++t]=P[i];
        }
        Re St=t;
        for(Re i=n-1;i>=1;--i){//上凸包
            while(t>St&&dcmp(Cro(cp[t]-cp[t-1],P[i]-cp[t-1]))<=0)--t;
            cp[++t]=P[i];
        }
        return --t;//要减一
    }
    inline void sakura(){
        for(Re i=1;i<=n;++i)Poi[i].in();
        cnt=ConvexHull(Poi,n,cp);
    }
}A,B;
inline int pan_PL(Point p,Point a,Point b){//判断点P是否在线段AB上
    return !dcmp(Cro(p-a,b-a))&&min(a.x,b.x)<=p.x&&p.x<=max(a.x,b.x)&&min(a.y,b.y)<=p.y&&p.y<=max(a.y,b.y);
}
inline int PIP(Point *P,Re n,Point a){
    Re cnt=0;LD tmp;
    for(Re i=1;i<=n;++i){
        Re j=i<n?i+1:1;
        if(pan_PL(a,P[i],P[j]))return 2;//点在多边形上
        if(a.y>=min(P[i].y,P[j].y)&&a.y<max(P[i].y,P[j].y))//纵坐标在该线段两端点之间
            tmp=P[i].x+(a.y-P[i].y)/(P[j].y-P[i].y)*(P[j].x-P[i].x),cnt+=dcmp(tmp-a.x)>0;//交点在A右方
    }
    return cnt&1;//穿过奇数次则在多边形以内
}
inline int judge(){
    for(Re i1=1;i1<=A.cnt;++i1){
        Re j1=i1<A.cnt?i1+1:1;
        for(Re i2=1;i2<=B.cnt;++i2){
            Re j2=i2<B.cnt?i2+1:1;
            if(pan_cross_LL(A.cp[i1],A.cp[j1],B.cp[i2],B.cp[j2]))return 0;//两线段相交
            if(PIP(B.cp,B.cnt,A.cp[i1])||PIP(A.cp,A.cnt,B.cp[i2]))return 0;//点包含在内
        }
    }
    return 1;
}
int main(){
//  freopen("123.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d%d",&A.n,&B.n)&&A.n&&B.n)A.sakura(),B.sakura(),puts(judge()?"Yes":"No");
}

【二分法】

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LD double
#define LL long long
#define Vector Point
#define Re register int
using namespace std;
const int N=1e5+3;
const LD eps=1e-8;
int n,T;
inline int dcmp(LD a){return a<-eps?-1:(a>eps?1:0);}
struct Point{
    LD x,y;Point(LD X=0,LD Y=0){x=X,y=Y;}
    inline void in(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
};
inline LD Dot(Vector a,Vector b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}
inline LD Cro(Vector a,Vector b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
inline LD Len(Vector a){return sqrt(Dot(a,a));}
inline LD Angle(Vector a,Vector b){return acos(Dot(a,b)/Len(a)/Len(b));}
inline Point operator+(Point a,Vector b){return Point(a.x+b.x,a.y+b.y);}
inline Vector operator-(Point a,Point b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
inline Vector operator*(Vector a,LD x){return Vector(a.x*x,a.y*x);}
inline int pan_cross_LL(Point a,Point b,Point c,Point d){//判断两线段AB,CD是否相交
    LD c1=Cro(b-a,c-a),c2=Cro(b-a,d-a);
    LD d1=Cro(d-c,a-c),d2=Cro(d-c,b-c);
    return dcmp(c1)*dcmp(c2)<=0&&dcmp(d1)*dcmp(d2)<=0;//这里重合也要算
}
inline bool cmp1(Point a,Point b){return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;};//按坐标排序
struct Poly{
    int n,cnt;Point cp[N],Poi[N];
    inline int ConvexHull(Point *P,Re n,Point *cp){
        sort(P+1,P+n+1,cmp1);
        Re t=0;
        for(Re i=1;i<=n;++i){//下凸包
            while(t>1&&dcmp(Cro(cp[t]-cp[t-1],P[i]-cp[t-1]))<=0)--t;
            cp[++t]=P[i];
        }
        Re St=t;
        for(Re i=n-1;i>=1;--i){//上凸包
            while(t>St&&dcmp(Cro(cp[t]-cp[t-1],P[i]-cp[t-1]))<=0)--t;
            cp[++t]=P[i];
        }
        return --t;//要减一
    }
    inline void sakura(){
        for(Re i=1;i<=n;++i)Poi[i].in();
        cnt=ConvexHull(Poi,n,cp);
        for(Re i=1;i<=cnt/2;++i)swap(cp[i],cp[cnt-i+1]);//这里求出来的凸包点集按逆时针排列，转换一下
    }
}A,B;
inline int pan_PL(Point p,Point a,Point b){//判断点P是否在线段AB上
    return !dcmp(Cro(p-a,b-a))&&min(a.x,b.x)<=p.x&&p.x<=max(a.x,b.x)&&min(a.y,b.y)<=p.y&&p.y<=max(a.y,b.y);
}
inline int judge(Point a,Point L,Point R){//判断点AL是否在AR右边
    return dcmp(Cro(L-a,R-a))>0;//必须严格以内
}
inline int PIP(Point *P,Re n,Point a){//判断点A是否在凸多边形Poly以内（二分法）
    //点按顺时针给出
    if(judge(P[1],P[2],a)||judge(P[1],a,P[n]))return 0;//在P[1_2]或P[1_n]外
    if(pan_PL(a,P[1],P[2])||pan_PL(a,P[1],P[n]))return 1;//在P[1_2]或P[1_n]上
    Re L=2,R=n-1;
    while(L<R){//二分找到一个位置pos使得P[1]_A在P[1_pos],P[1_(pos+1)]之间
        Re mid=L+R+1>>1;
        if(judge(P[1],a,P[mid]))L=mid;
        else R=mid-1;
    }
    if(judge(P[L],P[L+1],a))return 0;//在P[pos_(pos+1)]外
    if(pan_PL(a,P[L],P[L+1]))return 1;//在P[pos_(pos+1)]上
    return 1;
}
inline int judge(){
    for(Re i1=1;i1<=A.cnt;++i1){
        Re j1=i1<A.cnt?i1+1:1;
        for(Re i2=1;i2<=B.cnt;++i2){
            Re j2=i2<B.cnt?i2+1:1;
            if(pan_cross_LL(A.cp[i1],A.cp[j1],B.cp[i2],B.cp[j2]))return 0;//两线段相交
            if(PIP(B.cp,B.cnt,A.cp[i1])||PIP(A.cp,A.cnt,B.cp[i2]))return 0;//点包含在内
        }
    }
    return 1;
}
int main(){
//  freopen("123.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d%d",&A.n,&B.n)&&A.n&&B.n)A.sakura(),B.sakura(),puts(judge()?"Yes":"No");
}