Gym102012G Rikka with Intersections of Paths

题意

\(T\) 组数据，每组数据给定一棵 \(n\) 个点的树和 \(m\) 条路径，求选出 \(k\) 条给定路径使得至少有两条交于一点的方案数，对 \(10^9+7\) 取模。

\(\texttt{Data Range:}1\leq T\leq 200,1\leq n\leq 3\times 10^5,2\leq m\leq 3\times 10^5,2\leq k\leq m\)。

题解

这种题都不能一次 AC，而且还是犯的弱智错误，我太菜了。

考虑这样一个结论：如果两条路径交于一些点，那么这些点中的某一个肯定是这两条路径中一条的两个端点的 LCA。

我们枚举这样一个端点，然后容斥。设 \(u_x\) 为这些路径中经过 \(x\) 的数量，\(v_x\) 为这些路径中两个端点的 LCA 为 \(x\) 的数量，那么答案为

\[\sum\limits_{i=1}^{n}\binom{u_i}{k}-\binom{u_i-v_i}{k}
\]

然后 \(v\) 是很容易维护的，\(u\) 树上差分一下就好了。

所以我们容易看出邪王真眼是最强的！！！

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
typedef long long int li;
const ll MAXN=3e5+51,MOD=1e9+7;
struct Edge{
    ll to,prev;
};
Edge ed[MAXN<<1];
ll test,n,m,kk,tot,from,to,lca,res;
ll last[MAXN],u[MAXN],v[MAXN],depth[MAXN],anc[MAXN][20],fact[MAXN];
ll finv[MAXN],f[MAXN],diff[MAXN];
inline ll read()
{
    register ll num=0,neg=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
    {
        ch=getchar();
    }
    if(ch=='-')
    {
        neg=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        num=(num<<3)+(num<<1)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return num*neg;
}
inline ll qpow(ll base,ll exponent)
{
    ll res=1;
    while(exponent)
    {
        if(exponent&1)
        {
            res=(li)res*base%MOD;
        }
        base=(li)base*base%MOD,exponent>>=1;
    }
    return res;
}
inline void setup(ll cnt)
{
    fact[0]=fact[1]=finv[0]=1;
    for(register int i=2;i<=cnt;i++)
    {
        fact[i]=(li)fact[i-1]*i%MOD;
    }
    finv[cnt]=qpow(fact[cnt],MOD-2);
    for(register int i=cnt-1;i;i--)
    {
        finv[i]=(li)finv[i+1]*(i+1)%MOD;
    }
}
inline ll binom(ll m,ll n)
{
    return m<n?0:(li)fact[m]*finv[n]%MOD*finv[m-n]%MOD;
}
inline void addEdge(ll from,ll to)
{
    ed[++tot].prev=last[from];
    ed[tot].to=to;
    last[from]=tot;
}
inline void dfs(ll node,ll fa)
{
    depth[node]=depth[anc[node][0]=fa]+1;
    for(register int i=last[node];i;i=ed[i].prev)
    {
        ed[i].to!=fa?dfs(ed[i].to,node):(void)1;
    }
}
inline void LCASetup()
{
    for(register int j=1;j<20;j++)
    {
        for(register int i=1;i<=n;i++)
        {
            anc[i][j]=anc[anc[i][j-1]][j-1];
        }
    }
}
inline ll LCA(ll x,ll y)
{
    depth[x]<depth[y]?swap(x,y):(void)1;
    for(register int i=19;i>=0;i--)
    {
        depth[anc[x][i]]>=depth[y]?x=anc[x][i]:1;
    }
    for(register int i=19;i>=0;i--)
    {
        anc[x][i]!=anc[y][i]?x=anc[x][i],y=anc[y][i]:1;
    }
    return x==y?x:anc[x][0];
}
inline void dfs2(ll node,ll fa)
{
    ll to;
    for(register int i=last[node];i;i=ed[i].prev)
    {
        (to=ed[i].to)!=fa?dfs2(to,node),diff[node]+=diff[to]:1;
    }
}
inline void solve()
{
    n=read(),m=read(),kk=read(),tot=0,memset(last,0,sizeof(last));
    for(register int i=0;i<n-1;i++)
    {
        from=read(),to=read(),addEdge(from,to),addEdge(to,from);
    }
    dfs(1,0),LCASetup(),memset(f,0,sizeof(f)),memset(diff,0,sizeof(diff));
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        u[i]=read(),v[i]=read(),f[lca=LCA(u[i],v[i])]++;
        diff[u[i]]++,diff[v[i]]++,diff[lca]--,diff[anc[lca][0]]--;
    }
    dfs2(1,0),res=0;
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        res=(res+(binom(diff[i],kk)-binom(diff[i]-f[i],kk)+MOD)%MOD)%MOD;
    }
    printf("%d\n",res);
}
int main()
{
    test=read(),setup(300010);
    for(register int i=0;i<test;i++)
    {
        solve();
    }
}