题意

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的图和 \(q\) 次操作,每次操作分为以下两种:

  • 1 u v:查询 \(u\) 到 \(v\) 的一条路径使得边权最大的边的权值最小。

  • 2 u v:将边 \((u,v)\) 删去。

\(\texttt{Data Range:}1\leq u\leq 10^3,1\leq m,q\leq 10^5\)

题解

边权最大的边的权值最小,考虑用 \(\texttt{LCT}\) 维护原图的最小生成树。同时由于存在断边操作不好维护,所以考虑时间倒流。

首先先将所有没有被割去的边连起来,然后对于每一个割边操作,由于时间倒流了,所以在原图上连边,找新的最小生成树。

这里涉及到割掉环上边权最大的边的操作,为了更好的处理这个操作,可以在 \(\texttt{LCT}\) 上维护一个 \(mx_i\) 表示以 \(i\) 为根的子树上点权最大的是哪个。

注意到我们将原树上的边拆成了点,而原树上的点在 \(\texttt{LCT}\) 上的权值为 \(0\),所以这样做是正确的。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
typedef long long int li;
const ll MAXN=2e5+51;
struct Edge{
ll from,to,dist;
inline bool operator <(const Edge &rhs)const
{
return dist<rhs.dist;
}
};
Edge ed[MAXN];
ll n,m,qcnt,from,to,cnt,xx;
ll dis[1051][1051],op[MAXN],x[MAXN],y[MAXN],g[1051][1051],ffa[MAXN];
ll res[MAXN],ex[MAXN];
inline ll read()
{
register ll num=0,neg=1;
register char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
{
ch=getchar();
}
if(ch=='-')
{
neg=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
num=(num<<3)+(num<<1)+(ch-'0');
ch=getchar();
}
return num*neg;
}
inline ll find(ll x)
{
return x==ffa[x]?x:ffa[x]=find(ffa[x]);
}
namespace LCT{
struct Node{
ll fa,mx,val,rv,sz;
ll ch[2];
};
struct LinkCutTree{
Node nd[MAXN];
ll st[MAXN];
#define ls nd[x].ch[0]
#define rs nd[x].ch[1]
inline bool nroot(ll x)
{
return nd[nd[x].fa].ch[0]==x||nd[nd[x].fa].ch[1]==x;
}
inline ll get(ll x,ll y)
{
return nd[x].val>nd[y].val?x:y;
}
inline void update(ll x)
{
nd[x].mx=get(x,get(nd[ls].mx,nd[rs].mx));
}
inline void reverse(ll x)
{
swap(ls,rs),nd[x].rv^=1;
}
inline void spread(ll x)
{
if(nd[x].rv)
{
ls?reverse(ls):(void)(1),rs?reverse(rs):(void)(1);
nd[x].rv=0;
}
}
inline void rotate(ll x)
{
ll fa=nd[x].fa,gfa=nd[fa].fa;
ll dir=nd[fa].ch[1]==x,son=nd[x].ch[!dir];
if(nroot(fa))
{
nd[gfa].ch[nd[gfa].ch[1]==fa]=x;
}
nd[x].ch[!dir]=fa,nd[fa].ch[dir]=son;
if(son)
{
nd[son].fa=fa;
}
nd[fa].fa=x,nd[x].fa=gfa,update(fa);
}
inline void splay(ll x)
{
ll fa=x,gfa,cur=0;
st[++cur]=fa;
while(nroot(fa))
{
st[++cur]=fa=nd[fa].fa;
}
while(cur)
{
spread(st[cur--]);
}
while(nroot(x))
{
fa=nd[x].fa,gfa=nd[fa].fa;
if(nroot(fa))
{
rotate((nd[fa].ch[0]==x)^(nd[gfa].ch[0]==fa)?x:fa);
}
rotate(x);
}
update(x);
}
inline void access(ll x)
{
for(register int i=0;x;x=nd[i=x].fa)
{
splay(x),rs=i,update(x);
}
}
inline void makeRoot(ll x)
{
access(x),splay(x),reverse(x);
}
inline void link(ll edx,ll x,ll y)
{
makeRoot(x);
nd[nd[ex[edx]=x].fa=edx].fa=y,nd[edx].val=dis[x][y],update(edx);
}
inline void cut(ll x)
{
access(ex[x]),splay(x);
ls=rs=nd[ls].fa=nd[rs].fa=0;
}
#undef ls
#undef rs
};
}
LCT::LinkCutTree lct;
int main()
{
n=read(),m=read(),qcnt=read();
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
from=ed[i].from=read(),to=ed[i].to=read();
dis[from][to]=dis[to][from]=ed[i].dist=read();
}
for(register int i=1;i<=qcnt;i++)
{
op[i]=read(),x[i]=read(),y[i]=read();
if(op[i]==2)
{
g[x[i]][y[i]]=g[y[i]][x[i]]=1;
}
}
for(register int i=0;i<=n;i++)
{
ffa[i]=i;
}
sort(ed+1,ed+m+1),cnt=n*2-1;
for(register int i=1;cnt>n;i++)
{
from=ed[i].from,to=ed[i].to;
if(!g[from][to]&&find(from)!=find(to))
{
lct.link(cnt--,from,to),ffa[ffa[from]]=ffa[to];
}
}
cnt=0;
for(register int i=qcnt;i;i--)
{
lct.makeRoot(from=x[i]),lct.access(to=y[i]),lct.splay(to);
if(op[i]==1)
{
res[++cnt]=lct.nd[lct.nd[to].mx].val;
}
if(op[i]==2)
{
if(lct.nd[lct.nd[to].mx].val>dis[from][to])
{
lct.cut(xx=lct.nd[to].mx),lct.link(xx,from,to);
}
}
}
while(cnt)
{
printf("%d\n",res[cnt--]);
}
}

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