题目

给出一个有向无环图,要在上面安放祭祀点。两个祭祀点必须不可达,求最多能安放多少个祭祀点。

分析

由于一条无法再延伸链上只能安放一个祭祀点,而我们要求的是最多能安放祭祀点的个数,所以要求的就是最长反链的长度。由Dilworth定理得出,最长反链长度=最小链覆盖数,所以问题就转化成了求最小链覆盖(最小路径覆盖)。

最小链覆盖

首先说明,最小链覆盖中一条链算一个,最小边覆盖中,一条链算上面的边数。

二分图中,最小边覆盖=\(n\)-最大匹配。

下面来证明这个等式。

为了让边覆盖最小,我们要让每条边每次覆盖的点数尽量多,最多每次新增两个点,即最大匹配中的情况。剩下没有覆盖的点,不可能再一次覆盖两个新的,只能连接到已有的匹配点,每次新覆盖一个点。所以得到最小边覆盖\(F=Match+(N-Match*2)=N-Match\),分别表示原来的匹配边数和新增的边数。

那么在求解链覆盖问题的时候,我们可以把图拆点,转化成二分图,如果\(u\)与\(v\)有连边,那么就在二分图上连接\(u->v\prime\)。这样,二分图上的一个最小边覆盖就对应着原图上的一个最小链覆盖,因为我们可以首尾相连接成几条链。需要用floyd判断连通性。

代码

注意floyd部分的

if (f[i][k])

有时候可以大幅度提升时间效率,剪掉一些无用的情况。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
using namespace std;
int read() {
int x=0,f=1;
char c=getchar();
for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*f;
}
const int maxn=105;
bool a[maxn][maxn],alr[maxn];
int match[maxn],left[maxn],n;
bool dfs(int x) {
for (int i=1;i<=n;++i) if (a[x][i] && !alr[i]) {
alr[i]=true;
if (!match[i] || dfs(match[i])) {
match[i]=x;
return true;
}
}
return false;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("test.in","r",stdin);
#endif
n=read();
int m=read(),ans=0;
while (m--) {
int x=read(),y=read();
a[x][y]=true;
}
for (int k=1;k<=n;++k) for (int i=1;i<=n;++i) if (a[i][k]) for (int j=1;j<=n;++j) if (a[k][j]) a[i][j]=true;
for (int i=1;i<=n;++i) memset(alr,0,sizeof alr),ans+=dfs(i);
printf("%d\n",n-ans);
}

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