1053: [HAOI2007]反素数ant

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Description

对于任何正整数x,其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
如果某个正整数x满足:g(x)>g(i) 0<i<x,则称x为反质数。例如,整数1,2,4,6等都是反质数。
现在给定一个数N,你能求出不超过N的最大的反质数么?

Input

一个数N(1<=N<=2,000,000,000)。

Output

不超过N的最大的反质数。

Sample Input

1000

Sample Output

840

HINT

 

Source

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【题解】
首先,可以用组合数学证得,如果一个数n=a1x1×a2x2×……×akxk
那么,设函数ex-phi(n)表示n的约数的个数
可推导出ex-phi(n)=(x1+1)(x2+1)...(xk+1) ................(这只是个公式,我并不会证明)
上面的结论称为定理1
===========================================
通过计算可以得出当N在2000000000以内时,最多只有10个素因子
证明:2*3*5*7*11*13*17*19*23*29≈60e>20e
上面的结论称为定理2
===========================================
小素因子多一定比大素因子多要优秀
小素因子多那么总因子多,ex-phi(n)肯定比大素因子多的大。
上面的结论称为定理3
===========================================
然而推出这些神奇的结论后,我们发现——
    我们维护素因子从小到大数量的单调递减性即可。
 
代码不太好懂,,,,我加了不少注释
 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long prime[]={,,,,,,,,,,,,};
long long ans,num,n;
//num=目前约数最多的数中最小的数(语言能力有限...) ans=目前约数最多的约数的个数
inline void dfs(int now, long long product, long long cs, long long lastcs, long long res)
// 当前质数下标 当前乘积 当前数出现次数 上一个数出现次数 约数个数
{
if(ans==res*(cs+)&&product<num)//当前乘积的这个数是约数个数已经等于ans,且比num小
num=product;// 更新答案
if(res*(cs+)>ans){//这个没的说,肯定更新啦
ans=res*(cs+);
num=product;
}
if(cs+<=lastcs&&product*prime[now]<=n)//每个质数的指数保证单调不上升且不超过n
dfs(now,product*prime[now],cs+,lastcs,res); for(int i=now+;i<=;i++)//在数据范围内用到的质数不会超过10
if(product*prime[i]<=n)//注意不能超过n
dfs(i,product*prime[i],,cs,res*(cs+));
} inline void go()
{
dfs(,,,,);
printf("%lld\n",num);
} int main()
{
scanf("%lld",&n);
go();
return ;
}

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