uva 11525(线段树)
题目链接:http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2520
题意:有一个排列1~k,求第n个排列,其中n为 ,K(1≤K≤50000),S1, S2 ,…, Sk.(0≤Si≤K-i).
分析:这道题目乍看之下没有什么好的思路,k!太大了,但是仔细看一看就会发现n和康托展开式很类似
如果不知道康托展开的话请看:http://www.doc88.com/p-293361248346.html
http://blog.csdn.net/morgan_xww/article/details/6275460
要求第n个全排列,这不就是逆康托展开吗?
没错,仔细对比逆康托展开的推理过程就会发现,其实第n个全排列中的第i个数就是该排列中未出现过的比si大的第一个数。
比如:2 1 0 则比2大的第一个数是3,3未出现过,所以第一个数是3
比1大的第一个数是2,2未出现过,所以第二个数是2
比0大的第一个数是1,1未出现过,所以第三个数是1
所以结果为3 2 1
再比如:1 0 0 则比1大的第一个数是2,2未出现过,所以第一个数是2
比0 大的第一个数是1,1未出现过,所以第二个数是1
比0大的第一个数是1,但是1,2已经出现过了,所以第三个数是3
以此类推
普通的逆康托展开复杂度是O(n^2),这样对于k<=50000来说肯定是会超时的,可以用线段树(二分+树状数组)优化。
由上面的分析可知,
解法1:
线段树的具体做法同样是把 [1, K] 的数置成 1. 此时每条线段的权所代表的意义为在该区间内还有多少个数可以用。查找大于si的第一个未出现过的数,然后把这个数赋为0。 查找的时候如果左线段可用的数大于等于当前我们查找的数, 说明我们要找的数在左线段, 进入左线段, 查找的数不变; 否则说明在右线段, 进入右线段, 查找的数减去左线段可用的数的数目. 递归返回条件为当前节点代表的线段为单位线段(说明我们已经找到了)。
AC代码如下:
#include<stdio.h>
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
const int maxn=+;
int tree[maxn<<],ans;
void PushUp(int rt)
{
tree[rt]=tree[rt<<]+tree[rt<<|];
}
void build(int l,int r,int rt)
{
if(l==r)
{
tree[rt]=;
return ;
}
int m=(l+r)>>;
build(lson);
build(rson);
PushUp(rt);
}
void update(int p,int x,int l,int r,int rt)
{
if(l==r)
{
tree[rt]=x;
ans=l;
return ;
}
int m=(l+r)>>;
if(p<=tree[rt<<])
update(p,x,lson);
else
update(p-tree[rt<<],x,rson);
PushUp(rt);
}
int main()
{
int t,n,i,x;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
build(,n,);
for(i=;i<n;i++)
{
scanf("%d",&x);
update(x+,,,n,);
printf("%d",ans);
if(i!=n-)
printf(" ");
}
printf("\n");
}
return ;
}
解法2:
树状数组的具体做法是初始把 [1, K] 的数置成 1, 然后根据所给 S 数组, 去查找前缀和, 前缀和 sum[N] 代表 [1, N] 内有多少个数可以用. 注意前缀和是单调不减的, 因此我们可以二分, 查找第一个等于我们要找的数/的那个下标, 便是全排列当前位的数, 然后把这个下标里的数置成 0, 同时更新树状数组.
AC代码如下:
#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int maxn=+;
int c[maxn],num[maxn];
int n;
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int x,int num)
{
while(x<=n)
{
c[x]+=num;
x+=lowbit(x);
}
}
int sum(int x)
{
int ret=;
while(x>)
{
ret+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return ret;
}
int binary(int x)
{
int low=,high=n;
while(low<=high)
{
int m=(low+high)>>;
int cnt=sum(m);
if(cnt==x)
{
if(num[m])
return m;
else
high=m-;
}
else if(cnt<x)
low=m+;
else
high=m-;
}
return ;
}
int main()
{
int t,i,x;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
memset(c,,sizeof(c));
for(i=;i<=n;i++)
num[i]=;
for(i=;i<=n;i++)
update(i,);
for(i=;i<n;i++)
{
scanf("%d",&x);
int cnt=binary(x+);
update(cnt,-);
num[cnt]=;
printf("%d",cnt);
if(i!=n-)
printf(" ");
}
printf("\n");
}
return ;
}
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