uva 11525(线段树)

题目链接：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2520

题意：有一个排列1~k，求第n个排列，其中n为 ，K(1≤K≤50000)，S₁, S₂ ,…, S_k.(0≤S_i≤K-i).

分析：这道题目乍看之下没有什么好的思路，k！太大了，但是仔细看一看就会发现n和康托展开式很类似

如果不知道康托展开的话请看：http://www.doc88.com/p-293361248346.html

http://blog.csdn.net/morgan_xww/article/details/6275460

要求第n个全排列，这不就是逆康托展开吗？

没错，仔细对比逆康托展开的推理过程就会发现，其实第n个全排列中的第i个数就是该排列中未出现过的比si大的第一个数。

比如：2 1 0   则比2大的第一个数是3，3未出现过，所以第一个数是3

比1大的第一个数是2，2未出现过，所以第二个数是2

比0大的第一个数是1，1未出现过，所以第三个数是1

所以结果为3 2 1

再比如：1 0 0   则比1大的第一个数是2,2未出现过，所以第一个数是2

比0 大的第一个数是1，1未出现过，所以第二个数是1

比0大的第一个数是1，但是1，2已经出现过了，所以第三个数是3

以此类推

普通的逆康托展开复杂度是O(n^2)，这样对于k<=50000来说肯定是会超时的，可以用线段树（二分+树状数组）优化。

由上面的分析可知，

解法1：

线段树的具体做法同样是把 [1, K] 的数置成 1. 此时每条线段的权所代表的意义为在该区间内还有多少个数可以用。查找大于si的第一个未出现过的数，然后把这个数赋为0。 查找的时候如果左线段可用的数大于等于当前我们查找的数, 说明我们要找的数在左线段, 进入左线段, 查找的数不变; 否则说明在右线段, 进入右线段, 查找的数减去左线段可用的数的数目. 递归返回条件为当前节点代表的线段为单位线段(说明我们已经找到了)。

AC代码如下：

 #include<stdio.h>
 #define lson l,m,rt<<1
 #define rson m+1,r,rt<<1|1
 const int maxn=+;
 int tree[maxn<<],ans;
 void PushUp(int rt)
 {
     tree[rt]=tree[rt<<]+tree[rt<<|];
 }
 void build(int l,int r,int rt)
 {
     if(l==r)
     {
         tree[rt]=;
         return ;
     }
     int m=(l+r)>>;
     build(lson);
     build(rson);
     PushUp(rt);
 }
 void update(int p,int x,int l,int r,int rt)
 {
     if(l==r)
     {
         tree[rt]=x;
         ans=l;
         return ;
     }
     int m=(l+r)>>;
     if(p<=tree[rt<<])
         update(p,x,lson);
     else
         update(p-tree[rt<<],x,rson);
     PushUp(rt);
 }
 int main()
 {
     int t,n,i,x;
     scanf("%d",&t);
     while(t--)
     {
         scanf("%d",&n);
         build(,n,);
         for(i=;i<n;i++)
         {
             scanf("%d",&x);
             update(x+,,,n,);
             printf("%d",ans);
             if(i!=n-)
                 printf(" ");
         }
         printf("\n");
     }
     return ;
 }

解法2：

树状数组的具体做法是初始把 [1, K] 的数置成 1, 然后根据所给 S 数组, 去查找前缀和, 前缀和 sum[N] 代表 [1, N] 内有多少个数可以用. 注意前缀和是单调不减的, 因此我们可以二分, 查找第一个等于我们要找的数/的那个下标, 便是全排列当前位的数, 然后把这个下标里的数置成 0, 同时更新树状数组.

AC代码如下：

 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 const int maxn=+;
 int c[maxn],num[maxn];
 int n;
 int lowbit(int x)
 {
     return x&(-x);
 }
 void update(int x,int num)
 {
     while(x<=n)
     {
         c[x]+=num;
         x+=lowbit(x);
     }
 }
 int sum(int x)
 {
     int ret=;
     while(x>)
     {
         ret+=c[x];
         x-=lowbit(x);
     }
     return ret;
 }
 int binary(int x)
 {
     int low=,high=n;
     while(low<=high)
     {
         int m=(low+high)>>;
         int cnt=sum(m);
         if(cnt==x)
         {
             if(num[m])
                 return m;
             else
                 high=m-;
         }
         else if(cnt<x)
             low=m+;
         else
             high=m-;
     }
     return ;
 }
 int main()
 {
     int t,i,x;
     scanf("%d",&t);
     while(t--)
     {
         scanf("%d",&n);
         memset(c,,sizeof(c));
         for(i=;i<=n;i++)
             num[i]=;
         for(i=;i<=n;i++)
             update(i,);
         for(i=;i<n;i++)
         {
             scanf("%d",&x);
             int cnt=binary(x+);
             update(cnt,-);
             num[cnt]=;
             printf("%d",cnt);
             if(i!=n-)
                 printf(" ");
         }
         printf("\n");
     }
     return ;
 }