BZOJ5302 HAOI2018奇怪的背包（动态规划）

　　由裴蜀定理，子集S有解当且仅当gcd(S,P)|w。

　　一个显然的dp是设f[i][j]为前i个数gcd为j的选取方案。注意到这里的gcd一定是P的约数，所以状态数是n√P的。然后可以通过这个得到gcd是j约数的选取方案。复杂度O(n√PlogP)。

　　考虑优化。注意到每个数取gcd后的贡献仅与其和P的gcd有关，而这又一定是P的约数，所以本质不同的物品数量也是O(√P)。那么上面的dp就可以优化到O(PlogP)了。当然这里的P是P的约数个数的平方，这显然是远远达不到P的。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 1000010
#define K 2010
#define P 1000000007
char getc(){char c=getchar();while ((c<'A'||c>'Z')&&(c<'a'||c>'z')&&(c<''||c>'')) c=getchar();return c;}
int gcd(int n,int m){return m==?n:gcd(m,n%m);}
int read()
{
    int x=,f=;char c=getchar();
    while (c<''||c>'') {if (c=='-') f=-;c=getchar();}
    while (c>=''&&c<='') x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();
    return x*f;
}
int n,m,k,d[K],cnt[K],f[K][K],ans[K],t;
inline void inc(int &x,int y){x+=y;if (x>=P) x-=P;}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj5302.in","r",stdin);
    freopen("bzoj5302.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d\n";
#else
    const char LL[]="%lld\n";
#endif
    n=read(),m=read(),k=read();
    for (int i=;i*i<=k;i++)
    if (k%i==)
    {
        d[++t]=i;cnt[t]=;
        if (i*i!=k) d[++t]=k/i,cnt[t]=;
    }
    sort(d+,d+t+);
    for (int i=;i<=n;i++) (cnt[lower_bound(d+,d+t+,gcd(k,read()))-d]<<=)%=P;
    f[][]=;
    for (int i=;i<=t;i++)
        for (int j=;j<=t;j++)
        inc(f[i][j],f[i-][j]),inc(f[i][lower_bound(d+,d+t+,gcd(d[i],d[j]))-d],1ll*f[i-][j]*(cnt[i]-)%P);
    for (int i=;i<=t;i++)
        for (int j=;j<=i;j++)
        if (d[i]%d[j]==) inc(ans[i],f[t][j]);
    for (int i=;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[lower_bound(d+,d+t+,gcd(k,read()))-d]);
    return ;
}