zoj 1562 反素数 附上个人对反素数性质的证明
反素数的定义:对于不论什么正整数,其约数个数记为
。比如
,假设某个正整数
满足:对随意的正整
数。都有
,那么称
为反素数。
从反素数的定义中能够看出两个性质:
(1)一个反素数的全部质因子必定是从2開始的连续若干个质数。由于反素数是保证约数个数为的这个数
尽量小
(2)相同的道理,假设,那么必有
个人理解性证明:
对(1)如果不是从2開始,那么如果n的最小素因素是k,把k换成2,2的次数仍等于k的次数,得到N,可知,N<n,而且f(n)==f(N)。与n是反素数矛盾
对(2)如果ti<tj ti,tj各自是是质因数i,j的次数,i<j。那么将i的次数换成tj,j的次数换成ti 能够得到N 。满足N<n且f(n)==f(N),与n是反素数矛盾
综上,两条性质得证
可能会疑惑,反素数的性质有个毛用!?
答案是:剪枝
先来一份TLE代码(2000ms+)
const int SIZE = 16;
const int MAXN = 65;
int p[SIZE] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53}; ll n,ans,ansnum;
void dfs(int dep, ll tmp , ll mx)
{
if(tmp<=n)
{
if(mx>ansnum)
{
ans=tmp;
ansnum=mx;
}
if(mx==ansnum)ans=min(tmp,ans);///
}
if(tmp>=n || dep>SIZE-1)return;
ll tt=1;
for(int i=0;i<SIZE;i++)
{
if(n/tt<tmp)break;
dfs(dep+1,tmp*tt,mx*(i+1));
tt*=p[dep];
}
} int main()
{
//IN("zoj1562.txt");
while(~scanf("%lld",&n))
{
ans=ansnum=0;
dfs(0,1,1);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
TLE的原因是dfs太多,剪枝方法非常easy。
1、DFS的时候,是从小的素数開始,由性质1,必须是次数从1開始而不是0開始。这样就剪下了一块
2、DFS的时候,深度为dep的那一层,循环处理的是prm[dep]的i次方,那么由性质2。其上限不能超过上一层的次数,又零零碎碎剪下了不少
另外注意两点:
1、由于害怕超过long long 所以用除法
if(n/tt<tmp)break;
2、注意求反素数这行代码:(是为了满足定义)
<pre code_snippet_id="457113" snippet_file_name="blog_20140824_2_8087056" name="code" class="cpp">if(mx==ansnum)ans=min(tmp,ans);
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std; #define ls(rt) rt*2
#define rs(rt) rt*2+1
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define repe(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++)
#define CL(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define IN(s) freopen(s,"r",stdin)
#define OUT(s) freopen(s,"w",stdout)
const ll ll_INF = ((ull)(-1))>>1;
const double EPS = 1e-8;
const int INF = 100000000;
const int SIZE = 16;
const int MAXN = 65;
int p[SIZE] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53}; ll n,ans,ansnum;
void dfs(int dep, ll tmp , ll mx,int num)
{
if(tmp<=n)
{
if(mx>ansnum)
{
ans=tmp;
ansnum=mx;
}
if(mx==ansnum)ans=min(tmp,ans);///
}
if(tmp>=n || dep>SIZE-1)return;
ll tt=1;
for(int i=1;i<num;i++)
{
tt*=p[dep];
if(n/tt<tmp)break;
dfs(dep+1,tmp*tt,mx*(i+1),i+1);
}
} int main()
{
//IN("zoj1562.txt");
while(~scanf("%lld",&n))
{
ans=ansnum=0;
dfs(0,1,1,MAXN);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
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