求最大公因数（辗转相除法&更相减损术）

求最大公因数（辗转相除法&更相减损术）

辗转相除法

又名欧几里得算法 ，其原理其实是基于这个定理：\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)，详细证明，而任何数与0的最大公约数是它本身 （递归终止条件），所以可以如下递归求出两数最大公因数：

\[f(a,b)=\left\{
\begin{array}{lll}
b \qquad a\%b=0\\
f(b,a\%b)
\end{array}
\right.
\]

递归实现（C++）：

int f(int a, int b){
	return (b==0)?(a):f(b,a%b);
}

无需判断a,b的大小关系

更相减损术

出自《九章算术》，其依据原理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数，同理，所以可以如下递归求出两数最大公因数：

\[f(a,b)=\left\{
\begin{array}{lll}
a \qquad a=b\\
f(b,a-b)
\end{array}
\right.
\]

递归实现（C++）：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int f(int a, int b){//a>b
	int r=a-b;
	if(r==0)	return b;
	if(r>b)	return f(r,b);
	else	return f(b,r);
}
int main(){
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	if(a<b)
		swap(a,b);
	cout<<f(a,b);
	return 0;
}

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