【HDU4276】The Ghost Blows Light

题目大意：给定一棵有根树，1 号节点为根节点，点有点权，边有边权，初始给定一个价值，每经过一条边都会减少该价值，每经过一个点都会增加相应的答案贡献值，求如何在给定价值的情况下最大化答案贡献，并要求最后在 N 号节点停留，若无法停留，则输出相应字符串。

题解：

首先，不考虑要求在 N 号节点停留的限制，发现就是一个裸的树上背包问题。但是现在多了一个限制条件，我们假设一定可以从根节点走到 N 号节点。

引理：最有情况下，从根节点到 N 号节点的树链中的每一条边经过且仅经过一次。

证明：若先经过树链上的边 e ，再通过 e 返回，再经过其他非树链边之后，再次返回 e，得到的一条路径 P。构造一条路径 P‘，使得在未经过 e 时，先经过 P’ 中的对应非树边，再经过 e ，得到路径 P。发现 P 总是比 P‘ 小 2e 的代价，证毕。

根据引理，又根据从 1 到 N 的路径必须经过的性质，采用将这条树链压缩成一个点，即：将这条路径上的点压缩成一个点，再在新的树上进行树形dp操作，得到的最优解即是全局最优解。对于压缩路径的等价操作是：记录这条必经树链的每条边，将边权全部置为 0 即可。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=105;
const int maxt=505;

int n,t,a[maxn];
struct node{int nxt,to,w;}e[maxn<<1];
int tot=1,head[maxn];
inline void add_edge(int from,int to,int w){
	e[++tot]=node{head[from],to,w},head[from]=tot;
}
int d[maxn],pre[maxn],f[maxn][maxt];

void dfs(int u,int fa){
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to,w=e[i].w*2;
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		for(int j=t;j>=0;j--)
			for(int k=0;k<=j-w;k++)
				f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k-w]+f[v][k]);
	}
	for(int j=0;j<=t;j++)f[u][j]+=a[u];
}
void getdis(int u,int fa){
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to,w=e[i].w;
		if(v==fa)continue;
		pre[v]=i,d[v]=d[u]+w;
		getdis(v,u);
	}
}
void clear(){
	int now=n;
	while(now!=1){
		int id=pre[now];
		e[id].w=e[id^1].w=0;
		now=e[id^1].to;
	}
}
void read_and_parse(){
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y,z;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add_edge(x,y,z),add_edge(y,x,z);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
}
void solve(){
	getdis(1,0);
	if(d[n]>t)return (void)puts("Human beings die in pursuit of wealth, and birds die in pursuit of food!");
	clear();
	t-=d[n];
	dfs(1,0);
	printf("%d\n",f[1][t]);
}
void init(){
	memset(head,0,sizeof(head)),tot=1;
	memset(pre,0,sizeof(pre));
	memset(d,0,sizeof(d));
	memset(f,0,sizeof(f));
}
int main(){
	while(scanf("%d%d",&n,&t)!=EOF){
		init();
		read_and_parse();
		solve();
	}
	return 0;
}