剑指offer——54数组中的逆序对

题目描述

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

输入描述:

题目保证输入的数组中没有的相同的数字

数据范围：

对于%50的数据,size<=10^4

对于%75的数据,size<=10^5

对于%100的数据,size<=2*10^5

示例1

输入

1,2,3,4,5,6,7,0

输出

7

题解：
　　这道题有待琢磨。。。
　　

看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。没扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

        我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

                                                      

(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；

(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；

(c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ；

(d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；

       在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组 排序 如上图（c）所示， 以免在以后的统计过程中再重复统计。

      接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。

      我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 辅助数组（记为copy） 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

     

过程总结：

先把数组分隔成子数组，统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。

 //最笨的方法
 class Solution01 {
 public:
     int InversePairs(vector<int> data) {
         if (data.size() < )return ;
         set<int>s;
         s.insert(data[]);
         int res = ;
         for (int i = ; i < data.size(); ++i)
         {
             if (data[i] < *(s.begin()))
                 res += s.size();
             else if (data[i] > *(--s.end()))
                 res += ;
             else
             {
                 int k = ;
                 for (auto ptr = s.begin(); ptr != s.end(); ++ptr, ++k)
                 {
                     if (*ptr > data[i])
                     {
                         res += s.size() - k;
                         break;
                     }
                 }
             }
             s.insert(data[i]);
         }
         return res;
     }
 };

 //书本代码，有点乱
 class Solution02 {
 public:
     int InversePairs(vector<int> data) {
         if (data.size() < )return ;
         vector<int>v;//用来复制的
         v = data;
         return InversePairsCore(data, v, , data.size() - );
     }

     int InversePairsCore(vector<int>&data, vector<int>&copy, int start, int end)
     {
         if (start == end)
         {
             copy[start] = data[start];
             return ;
         }

         int length = (end - start) / ;

         int left = InversePairsCore(copy, data, start, start + length) % ;
         int right = InversePairsCore(copy, data, start + length + , end) % ;

         // i初始化为前半段最后一个数字的下标
         int i = start + length;
         // j初始化为后半段最后一个数字的下标
         int j = end;
         int indexCopy = end;
         int count = ;
         while (i >= start && j >= start + length + )
         {
             if (data[i] > data[j])
             {
                 copy[indexCopy--] = data[i--];
                 count += j - start - length;
                 if (count >= )//数值过大求余
                 {
                     count %= ;
                 }
             }
             else
             {
                 copy[indexCopy--] = data[j--];
             }
         }

         for (; i >= start; --i)
             copy[indexCopy--] = data[i];

         for (; j >= start + length + ; --j)
             copy[indexCopy--] = data[j];

         return (left + right + count) % ;
     }
 };

 //使用归并排序思想
 class Solution03 {
 private:
     int count = ;
 public:
     int InversePairs(vector<int> data) {
         if (data.size() < )return ;
         mergeSort(data, , data.size() - );
         return count;
     }
     void mergeSort(vector<int>&data, int L, int R)
     {
         if (L < R)
         {
             int M = (L + R) / ;
             mergeSort(data, L, M);
             mergeSort(data, M + , R);
             merge(data, L, M, R);
         }
     }
     void merge(vector<int>&data, int L, int M, int R)
     {
         vector<int>temp(R - L + );
         int t = R - L;
         int tL = M;
         int tR = R;
         while (tL >= L && tR >= M + )
         {
             if (data[tL] > data[tR])
             {
                 count += tR - M;
                 temp[t--] = data[tL--];
                 count %= ;
             }
             else
                 temp[t--] = data[tR--];
         }
         while (tL >= L)
             temp[t--] = data[tL--];
         while (tR >= M + )
             temp[t--] = data[tR--];
         for (int i = ; i <= R - L; ++i)
             data[L + i] = temp[i];
     }
 };