使用二阶微分锐化图像（拉普拉斯算子）基本原理及Python实现

1. 拉普拉斯算子

1.1 简介

一种典型的各向同性的微分算子，可用于检测图像中灰度图片的区域

$$ \nabla^{2} f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} $$

根据上述的差分近似可以推导出

$$ \nabla^{2} f(x, y)=f(x+1, y)+f(x-1, y)+f(x, y+1)+f(x, y-1)-4 f(x, y) $$

1.2 锐化过程

1. 使用拉普拉斯过滤器得到图像中灰度突变的区域$\nabla^{2} f(x, y)$
2. 使用原图像加上$\nabla^{2} f(x, y)$，如下

$$ g(x, y)=f(x, y)+c\left[\nabla^{2} f(x, y)\right] $$

• 其中c为可变参数

2. 测试

图源自skimage

3. 代码

 import numpy as np
 
 3
 def laplace_sharpen(input_image, c):
     '''
     拉普拉斯锐化
     :param input_image: 输入图像
     :param c: 锐化系数
     :return: 输出图像
     '''
     input_image_cp = np.copy(input_image)  # 输入图像的副本

     # 拉普拉斯滤波器
     laplace_filter = np.array([
         [1, 1, 1],
         [1, -8, 1],
         [1, 1, 1],
     ])

     input_image_cp = np.pad(input_image_cp, (1, 1), mode='constant', constant_values=0)  # 填充输入图像

     m, n = input_image_cp.shape  # 填充后的输入图像的尺寸

     output_image = np.copy(input_image_cp)  # 输出图像

     for i in range(1, m - 1):
         for j in range(1, n - 1):
             R = np.sum(laplace_filter * input_image_cp[i - 1:i + 2, j - 1:j + 2])  # 拉普拉斯滤波器响应

             output_image[i, j] = input_image_cp[i, j] + c * R

     output_image = output_image[1:m - 1, 1:n - 1]  # 裁剪

     return output_image