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解题思路

  可以把原式移项得\(x\)^\(2x\)=\(3x\),而\(x+2x=3x\),说明\(x\)二进制下不能有两个连续的\(1\)。那么第一问就是一个简单的数位\(dp\),第二问考虑递推按位做,设\(f(i)\)表示最后一位为\(0\)的答案,\(g(i)\)表示最后一位为\(1\)的答案,那么\(f(i)=g(i-1)+f(i-1)\),\(g(i)=f(i-1)\),整理一下发现\(f(i)=f(i-1)+f(i-2)\),就是斐波那契的形式,直接矩乘即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N=70;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long LL; int a[N],len;
LL f[N][2][2],n;
bool vis[N][2][2]; LL DFS(int x,int lst,int lim){
if(vis[x][lst][lim]) return f[x][lst][lim];
vis[x][lst][lim]=1;
if(!x) return f[x][lst][lim]=1;
if(!lst && (lim || a[x])) f[x][lst][lim]=DFS(x-1,1,lim);
f[x][lst][lim]+=DFS(x-1,0,lim|(a[x]==1));
return f[x][lst][lim];
} struct Matrix{
int a[3][3];
void clear(){
memset(a,0,sizeof(a));
}
void init(){
a[1][1]=a[2][2]=1;
}
friend Matrix operator*(const Matrix A,const Matrix B){
Matrix ret; ret.clear();
for(int i=1;i<=2;i++)
for(int j=1;j<=2;j++)
for(int k=1;k<=2;k++)
(ret.a[i][j]+=1ll*A.a[i][k]*B.a[k][j]%MOD)%=MOD;
return ret;
}
}mat,ans; Matrix fast_pow(Matrix x,LL y){
Matrix ret; ret.clear(); ret.init();
for(;y;y>>=1){
if(y&1) ret=ret*x;
x=x*x;
}
return ret;
} int main(){
int T; scanf("%d",&T);
while(T--){
memset(vis,false,sizeof(vis));
memset(f,0,sizeof(f));
scanf("%lld",&n); LL nn=n;
len=0;
while(n) a[++len]=(n&1),n>>=1;
printf("%lld\n",DFS(len,0,0)-1);
// cerr<<"!!!"<<endl;
if(nn==1) puts("2");
else if(nn==2) puts("3");
else {
// cerr<<"!!!"<<endl;
ans.clear(); mat.clear();
ans.a[1][1]=2; ans.a[1][2]=3;
mat.a[1][2]=mat.a[2][2]=mat.a[2][1]=1;
ans=ans*fast_pow(mat,nn-2);
printf("%d\n",ans.a[1][2]);
}
}
return 0;
}

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