BZOJ 3329: Xorequ(数位dp+递推)

传送门

解题思路

　　可以把原式移项得\(x\)^\(2x\)=\(3x\)，而\(x+2x=3x\)，说明\(x\)二进制下不能有两个连续的\(1\)。那么第一问就是一个简单的数位\(dp\)，第二问考虑递推按位做，设\(f(i)\)表示最后一位为\(0\)的答案，\(g(i)\)表示最后一位为\(1\)的答案，那么\(f(i)=g(i-1)+f(i-1)\)，\(g(i)=f(i-1)\)，整理一下发现\(f(i)=f(i-1)+f(i-2)\)，就是斐波那契的形式，直接矩乘即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N=70;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long LL;

int a[N],len;
LL f[N][2][2],n;
bool vis[N][2][2];

LL DFS(int x,int lst,int lim){
	if(vis[x][lst][lim]) return f[x][lst][lim];
	vis[x][lst][lim]=1;
	if(!x) return f[x][lst][lim]=1;
	if(!lst && (lim || a[x])) f[x][lst][lim]=DFS(x-1,1,lim);
	f[x][lst][lim]+=DFS(x-1,0,lim|(a[x]==1));
	return f[x][lst][lim];
}

struct Matrix{
	int a[3][3];
	void clear(){
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
	void init(){
		a[1][1]=a[2][2]=1;
	}
	friend Matrix operator*(const Matrix A,const Matrix B){
		Matrix ret; ret.clear();
		for(int i=1;i<=2;i++)
			for(int j=1;j<=2;j++)
				for(int k=1;k<=2;k++)
					(ret.a[i][j]+=1ll*A.a[i][k]*B.a[k][j]%MOD)%=MOD;
		return ret;
	}
}mat,ans;

Matrix fast_pow(Matrix x,LL y){
	Matrix ret; ret.clear(); ret.init();
	for(;y;y>>=1){
		if(y&1) ret=ret*x;
		x=x*x;
	}
	return ret;
}

int main(){
	int T; scanf("%d",&T);
	while(T--){
		memset(vis,false,sizeof(vis));
		memset(f,0,sizeof(f));
		scanf("%lld",&n); LL nn=n;
		len=0;
		while(n) a[++len]=(n&1),n>>=1;
		printf("%lld\n",DFS(len,0,0)-1);
//		cerr<<"!!!"<<endl;
		if(nn==1) puts("2");
		else if(nn==2) puts("3");
		else {
//			cerr<<"!!!"<<endl;
			ans.clear(); mat.clear();
			ans.a[1][1]=2; ans.a[1][2]=3;
			mat.a[1][2]=mat.a[2][2]=mat.a[2][1]=1;
			ans=ans*fast_pow(mat,nn-2);
			printf("%d\n",ans.a[1][2]);
		}
	}
	return 0;
}