DP问题练习1:数字三角最短路径问题
DP问题练习1:数字三角最短路径问题
问题描述
给定一个数字三角形,找到从顶部到底部的最小路径和。每一步可以移动到下面一行的相邻数字上。
样例:
比如,给出下列数字三角形:
2
3 4
6 5 7
4 1 8 3
从顶到底部的最小路径和为11 ( 2 + 3 + 5 + 1 = 11)。
思路
我们给每一个位置标上坐标
2 (0,0)
3 4 (1,0) (1,1)
6 5 7 ...
4 1 8 3 ...
我们用f(i,j)表示从(i,j)位置一直到三角形底部的最小路径和。
那么f(0,0) = min(f(1,0),f(1,1))+Value(0,0); Value(0,0)就是值2
f(1,0) = min(f(2,0),f(2,1))+Value(1,0);
...
1.推导出状态转移方程:
f(i,j) = min(f(i+1,j),f(i+1,j+1)) + Value(i,j)。
利用这个状态转移方程我们可以写出一个递归函数。
2.递归的边界确定:
对于f(i,j),当:
i == 三角形高度-1 的时候,直接返回Value(i,j)
代码:
(function(){
main();
})();
/**
* [三角问题最小路径和]
* @param {[Array]} triangleList [trianglelist]
* @return {[Number]} [length of minimumTotal]
*/
function minimumTotal(triangleList){
//这个DP问题的状态转移方程
//f(i,j) = min(f(i+1,j),f(i+1,j+1))+(i,j) f(i,j)表示当前步骤(i,j)走到最后,所对应的最小路径和
var triangleHeight = getTriangleHeight(triangleList);
function calResult(i,j){
if(i == triangleHeight-1){
return triangleList[getIndex_i(i)+j];
}else{
var res1 = calResult(i+1,j);
var res2 = calResult(i+1,j+1);
return Math.min(res1,res2)+triangleList[getIndex_i(i)+j];
}
}
return calResult(0,0); }
/**
* 获取三角形有多少行
* @param {[Array]} triangleList [description]
* @return {[Number]} [description]
*/
function getTriangleHeight(triangleList){
var height = 0.5*(Math.sqrt(1+triangleList.length*8)-1);
console.assert(parseInt(height) == height,"输入的三角形数据数量有误");
return height;
}
/**
* 通过行数获取该行第一个元素在数组中的下标
* @param {[Number]} lineNo [行标,从0开始计]
* @return {[Number]} [数组下标]
*/
function getIndex_i(lineNo){
// if(lineNo == 0)
// return 0;
// return getIndex_i(lineNo-1)+lineNo;
//根据 f(n) = f(n-1)+n; f(0)=0 推到 f(n) = n(n+1)/2
return lineNo*(lineNo+1)/2;
}
function main(){
var TEMP = [2,3,4,6,5,7,4,1,8,9];
console.log(minimumTotal(TEMP))
}
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