网红题之一题多变$\;\;\text{e}^x\geqslant x^2+(\text{e}-2)x+1(x>0)$

母题

证明$:\;\;\text{e}^x\geqslant x^2+(\text{e}-2)x+1\;\;(x>0)$

注$:\;$用不同的结构变形来证明

变式1：

若$\forall x\in(0,+\infty),\;\;\text{e}^x\geqslant x^2+kx+1$ 恒成立$,\;\;$求实数$k$的取值范围$.$

注$:\;$端点效应“不端点”(仅必要不充分)问题

变式2：

若$\forall x\in(0,+\infty),\;\;\text{e}^x\geqslant a(x-a)(x-1)+\text{e}x$ 恒成立$,\;\;$求实数$a$的取值的集合$.$

注$:\;$极值点效应问题(仿“端点效应”给的名称$,$还请各位看官海涵)

变式3：

若$\forall x\in(0,+\infty),\;\;\text{e}^x\geqslant \text{e}a(x+\frac{3}{2}a)(x-1)^2+\text{e}x$ 恒成立$,\;\;$求实数$a$的取值的集合$.$

注$:\;$极值点效应“不极值”问题

变式4：

若$a>0,\;\;$证明$:\;\;\forall x\in(0,+\infty),\;\;\text{e}^x\geqslant (x-1)^2+\frac{\ln x}{a}+\frac{\ln a+2}{a}$

注$:\;$视元问题