【BZOJ3811/UOJ36】 玛里苟斯

Description

魔法之龙玛里苟斯最近在为加基森拍卖师的削弱而感到伤心，于是他想了一道数学题。

S 是一个可重集合，S={a1,a2,…,an}。

等概率随机取 S 的一个子集 A={ai1,…,aim}。

计算出 A 中所有元素异或 x, 求 xk 的期望。

Input

第一行两个正整数 n, k。

以下 n 行每行一个整数，表示 ai。

Output

如果结果是整数，直接输出。如果结果是小数（显然这个小数是有限的），输出精确值（末尾不加多余的 0）。

Sample Input

4 2
0
1
2
3

Sample Output

3.5

HINT

限制与约定

1≤n≤100000，1≤k≤5，ai≥0。最终答案小于 2^63 。k=1,2,3,4,5 各自占用 20% 的数据

Source

2015年国家集训队测试

Solution

被学长安利去做这道题。。。线性基。

考虑一个性质：如果把集合内的一个数异或上另一个数，则这个集合的子集的异或和的集合不变。

什么叫做子集的异或和的集合？就是你从一个集合中选出一个子集，这个有2^n种选法，把选出来的数异或起来，然后这些异或起来的数组成的集合。

考虑证明：

假如我们一开始的集合是{a,b,...}，我们把b异或上a，得到{a,a^b,...}。

然后原来和b有关但与a无关的子集的异或和，我们可以用a异或上a^b来代替；

原来和a和b都有关的子集的异或和，我们现在可以直接用a^b来代替。

其他的集合因为没有变，所以还是不变的。

那么总共产生的集合还是没有变。

既然我们有这么一个操作，那么我们就可以按位高斯消元了。我们把原集合高斯消元后得到的集合称作线性基（听别人说好像也叫秩？我对线代一无所知，所以不是很懂）。

可以证明线性基的个数是log权值的。

这题就是把式子展开完dfs一下。。。（你要是愿意每个子任务写k个for也是可以的）

Code

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>

 #ifdef WIN32
     #define LL "%I64d"
 #else
     #define LL "%lld"
 #endif

 #ifdef CT
     #define debug(...) printf(__VA_ARGS__)
     #define setfile()
 #else
     #define debug(...)
     #define filename ""
     #define setfile() freopen(filename".in", "r", stdin); freopen(filename".out", "w", stdout)
 #endif

 #define R register
 #define getc() (_S == _T && (_T = (_S = _B) + fread(_B, 1, 1 << 15, stdin), _S == _T) ? EOF : *_S++)
 #define dmax(_a, _b) ((_a) > (_b) ? (_a) : (_b))
 #define dmin(_a, _b) ((_a) < (_b) ? (_a) : (_b))
 #define cmax(_a, _b) (_a < (_b) ? _a = (_b) : 0)
 #define cmin(_a, _b) (_a > (_b) ? _a = (_b) : 0)
 #define cabs(_x) ((_x) < 0 ? (- (_x)) : (_x))
 char _B[ << ], *_S = _B, *_T = _B;
 typedef unsigned long long ull;
 inline ull F()
 {
     R char ch; R ull cnt = ; R bool minus = ;
     while (ch = getc(), (ch < '' || ch > '') && ch != '-') ;
     ch == '-' ? minus =  : cnt = ch - '';
     while (ch = getc(), ch >= '' && ch <= '') cnt = cnt *  + ch - '';
     return minus ? -cnt : cnt;
 }
 typedef long long ll;
 ull b[], c[];
 int top, m, sum, n, k, tmp, sn[], maxlen;
 ll ans;
 bool flag;
 void dfs(R int step, R ull state)
 {
     if (!step)
     {
         R int cnt = ;
         memset(c, , (m + ) << );
         for (R int i = ; i <= m; ++i)
         {
             R ull x = b[i] & state;
             for (; x; )
             {
                 tmp = __builtin_ctzll(x);
                 if (!c[tmp])
                 {
                     c[tmp] = x;
                     break;
                 }
                 x ^= c[tmp];
             }
         }
         for (R int i = m; i >= ; --i)
             if (c[i])
                 for (R int j = i - ; j >= ; --j)
                     if (c[j] & (1ull << i))
                         c[j] ^= c[i];
         R ull summ = ;
         for (R int i = ; i <= m; ++i) if (c[i]) ++cnt, summ ^= c[i];
         if (summ != state) return ;
 //        printf("%d %d\n", cnt, sum );
         if (sum < cnt)
         {
             ++sn[cnt - sum];
             cmax(maxlen, cnt - sum);
         }
         else ans += 1ull << (sum - cnt);
         return ;
     }
     for (R int i = ; i <= m; ++i)
     {
         sum += i;
         dfs(step - , state | (1ull << i));
         sum -= i;
     }
 }
 int main()
 {
 //    setfile();
     n = F(), k = F();
     for (R int i = ; i <= n; ++i)
     {
         R ull x = F();
         cmax(m,  - __builtin_clzll(x));
         for (; x; )
         {
             tmp = __builtin_ctzll(x);
             if (!b[tmp])
             {
                 b[tmp] = x;
                 break;
             }
             x ^= b[tmp];
         }
     }
     for (R int i = m; i >= ; --i)
         if (b[i])
             for (R int j = i - ; j >= ; --j)
                 if (b[j] & (1ull << i))
                     b[j] ^= b[i];
 //    for (R int i = 0; i <= m; ++i) printf("%llu ", b[i] );
     dfs(k, );
     for (R int i = maxlen; i; --i)
     {
         sn[i - ] += sn[i] >> ;
         sn[i] %= ;
     }
     ans += sn[];
     printf("%llu", ans );
     sn[] ? puts(".5") : ;
     return ;
 }