【LeetCode动态规划#06】分割等和子集（01背包问题一维写法实战）

分割等和子集

给你一个只包含正整数的非空数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]

输出：true

解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11]

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]

输出：false

解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示：

1 <= nums.length <= 200

1 <= nums[i] <= 100

思路

题意分析

题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

例如示例1：

输入元素总和是22，要分成两个元素和相等的子集，那这两个子集各自之和肯定都是11，即sum / 2

解题方法

既然这题出现在dp章节了，那肯定就是用dp来做了

但是，如果第一次遇见，应该怎么确定适用dp来解呢？可以先尝试分析一下题目，看看能不能把题目往这边靠

比如，这题中，每个构成子集的每个元素只能使用一次（关键点1）

这个描述可以联想到01背包问题，那就尝试去抽象一下：

本题可以转换为一个01背包问题，目标是给定一个数组，用数组中的元素去填满一个容量为 sum / 2 的背包（如果能填满的话，就找到了题目要求的子集）

还不够，还要继续确定什么是物品（物品重量），什么是价值

显然，能够作为物品的只有数组里的元素了，那么物品的重量就是元素数值，物品的价值也是元素数值

现在就把01背包问题套进来了，当前问题的条件如下：

背包的体积是 sum / 2
要放入背包的物品是数组元素，其重量为元素数值，重量也为元素数值
背包中每个元素不可重复使用
如果背包正好装满，那么说明找到了总和为 sum / 2 的子集（有一种就行，不用最优）

ok，现在可以五部曲去分析了

五步走

以一维01背包问题为模板来解题，详见

1、确定dp数组含义

回顾一下分析一维数组的背包问题时，dp[j]的定义：在容量为j时，背包能装下的物品的最大价值

根据上面的分析，本题中物品重量是数组元素数值，物品价值还是数组元素数值

那上面的定义可以改为：背包总容量是j，放入物品后，背包的最大重量为dp[j]

即本题dp数组的含义

举个例子，假设背包容量为target，那么dp[target]就是背包装满时的重量

当dp[target] = target，背包就装满了，此时变找到了题解子集

这里会出现一种情况：在所给的背包容量下，没有物品能装满

什么意思？举个例子，输入是数组 [1, 5, 11, 5]，target是7

那么，当dp[7]的时候，背包只能放1、5，总价为6，没放满，显然这不是我们需要的结果（不满足dp数组定义），不过好在我们是倒序遍历，在之后的遍历中，dp[6] = 6，满足dp定义，并且我们也找到了一个满足条件的子集[1,5]

2、确定递推公式

其实可以直接套用一维dp数组背包问题的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - wight[i]] + value[i])

本题中，物品重量和价值都是数组元素，所以可以改成：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])

其含义是：

不放入物品时，容量为j的背包最大的价值是dp[j];

放入物品时，容量为j - nums[i]的背包所背的最大价值是dp[j - nums[i]];

3、确定如何初始化

还是参考一维背包问题，当背包容量为0，也就是dp[0]时，里面不可能装东西

因此，dp[0] = 0;

其他部分全部初始化为0（因为题目说了数组元素全是正数），目的是为了防止倒序遍历过程中，上一层的值与当前值叠加（详见：一维dp数组如何初始化）

又因为题目给了：每个数组元素不会超过100，数组本身的大小不会超过200，且元素总和不会超过20000

那么创建dp数组时只需要取一半的大小即可

vector<int> dp(10001, 0);

4、确定遍历顺序

都套一维dp数组的背包问题了，肯定是倒序遍历

原因详见：为什么要倒序遍历？

for(int i = 0; i < nums.size(); ++i){//遍历物品

    for(int j = target; j > 0; --j){//遍历背包容量

        dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

    }

}

代码

根据上面的分析可写出一下代码

步骤：

1、求数组的总和，用于求背包容量target

2、判断当前总和sum是否为偶数，不为偶数就直接返回false

3、根据题目提示定义dp数组，同时进行初始化

4、倒序遍历dp数组，先遍历物品，再遍历背包容量，计算dp[j]

5、判断dp[target] 是否等于 target

class Solution {

public:

    bool canPartition(vector<int>& nums) {

        //求背包容量，也就是target

        //先定义一个sum用于求数组总和

        int sum = 0;

        for(auto num : nums) sum += num;

        //如果sum值不能均分(不是偶数)，那么一定无法分为两个和相等的子集，直接返回false

        if(sum % 2 == 1) return false;

        int target = sum / 2;

        //定义dp数组,同时初始化

        vector<int> dp(10001, 0);

        // //初始化dp数组

        // dp[0] = 0;

        //遍历dp数组（注意是倒序遍历）

        for(int i = 0; i < nums.size(); ++i){//遍历物品

            // 如果当前背包容量小于物品重量，换一个物品继续遍历容量

            // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历

            for(int j = target; j >= nums[i]; --j){//遍历背包容量

                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

            }

        }

        //判断是否满足题意条件

        if(dp[target] == target) return true;

        return false;

    }

};