线性代数 | Jordan 标准型的笔记

内容概述：

• 把方阵 A 的特征多项式 \(c(λ)=|λE-A|\) 展开成 \(c(λ)=\sum_ia_i\lambda^i\) 的形式，然后使用神乎其技的证明，得到 \(c(A)=O\)，特征多项式是 A 的化零多项式。【Hamilton-Cayley 定理】
• 定义 A 的最小多项式为 \(m(λ)=\Pi_i(λ-λ_i)^{c_i}\)，即次数最低的、能使 m(A)=0 的多项式。显然，m(λ) 是 c(λ) 的因式。
• 如果 m(λ) 里所有 \(c_i\) 都为零，则 A 可相似对角化。
• 如果不都为零，那么对特征值 \(λ_i\)，要在相似矩阵里放 \(c_i\) 个 Jordan 标准型。具体怎么放，要枚举所有可能 + 看 \(λ_iE-A\) 幂次的秩是否符合。

Jordan 标准型长这样：

Jordan 矩阵由 Jordan 块组成，Jordan 标准型就是与 A 相似的 Jordan 矩阵：