Jordan 标准型的实例

将学习到什么

练习一下如何把一个矩阵化为 Jordan 标准型.

 

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将矩阵化为 Jordan 标准型需要三步：

• 第一步 求出矩阵 \(A \in M_n\) 全部的特征值 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_t\), 假设有 \(t\) 个不同的特征值
• 第二步 Jordan 标准型定理 中的推论告诉我们：\(w_k(A,\lambda)-w_{k+1}(A,\lambda)\) 是以 \(\lambda\) 为特征值且阶恰好为 \(k\) 的 Jordan 块的个数. 我们就利用这个公式计算出以 \(\lambda\) 为特征值，阶为 \(\ell\) 的个数， \(\ell, \ell=1,2,\cdots\) 逐次计算. 以 \(\lambda\) 为特征值的 Jordan 块阶数之和等于特征值 \(\lambda\) 的代数重数，由此可知是否已经找出全部以 \(\lambda\) 为特征值的 Jordan 块
• 第三步 将所获得的 Jordan 块按任意次序排列成 Jordan 矩阵.

 

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例 1

将矩阵

\begin{align}
A=\begin{bmatrix} 2 & 6 & -15 \\ 1 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -6 \end{bmatrix}
\end{align}

化为 Jordan 标准型.

 

第一步：求特征值

矩阵 \(A\) 的特征多项式为
\begin{align}
\lvert \lambda I-A \rvert =\begin{bmatrix} \lambda-2 & -6 & 15 \\ -1 & \lambda-1 & 5 \\ -1 & -2 & \lambda+6 \end{bmatrix} =(\lambda+1)^3
\end{align}

所以它只有一个特征值 \(\lambda_1=-1\), 代数重数为 3.
 

第二步：求 Jordan 块

对 \(\lambda_1=-1\), 令
\begin{align}
B=A-\lambda_1 I = A+I =\begin{bmatrix} 3 & 6 & -15 \\ 1 & 2 & -5 \\ 1 & 2 & -5 \end{bmatrix}, \qquad B^2=0
\end{align}
所以以 \(\lambda_1\) 为特征值阶为 1 的 Jordan 块的个数为
\begin{align}
w_1(A,\lambda_1)-w_2(A,\lambda_1)=[n-r_1(A,\lambda_1)] - [r_1(A,\lambda_1)-r_2(A,\lambda_1)] = [3-1]-[1-0]=1
\end{align}
其中 $r_k(A,\lambda)=\mathrm{rank} (A-\lambda I)^k, \quad r_0(A,\lambda):=n $, \(n\) 为方阵 \(A\) 的大小.
同理，以 \(\lambda_1\) 为特征值阶为 2 的 Jordan 块的个数为
\begin{align}
w_2(A,\lambda_1)-w_3(A,\lambda_1)=[r_1(A,\lambda_1)-r_2(A,\lambda_1)] - [r_2(A,\lambda_1)-r_3(A,\lambda_1)] = [1-0]-[0-0]=1
\end{align}
上面两个 Jordan 块阶数之和为 3，等于 \(\lambda_1\) 的重数，因而不再存在以 \(\lambda_1\) 为特征值的其它 Jordan 块. 因矩阵 \(A\) 没有其它特征值，故 Jordan 块求解完毕.

 

第三步：组成 Jordan 矩阵

只有一个重数为 3 的特征值 \(\lambda_1=-1\)，一阶二阶各一个，所以矩阵 \(A\) 的 Jordan 标准型为

\begin{align}
J=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix}
\end{align}

 

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例 2

将矩阵
\begin{align}
A=\begin{bmatrix} 3 & -4 & 0 & 2 \\ 4 & -5 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \end{bmatrix}
\end{align}
化为 Jordan 标准型.

矩阵 \(A\) 的特征多项式为
\begin{align}
\lvert \lambda I-A \rvert =\begin{bmatrix} \lambda-3 & 4 & 0 & -2 \\ -4 & \lambda+5 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & \lambda-3 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & \lambda+1 \end{bmatrix}= (\lambda+1)^2(\lambda-1)^2
\end{align}

所以它有两个特征值 \(\lambda_1=-1\) 和 \(\lambda_2=1\), 代数重数都为 2.
 

第二步：求 Jordan 块

对 \(\lambda_1=-1\), 令
\begin{align}
B_1=A-\lambda_1 I = A+I &=\begin{bmatrix} 4 & -4 & 0 & 2 \\ 4 & -4 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{rank}\,B_1=3 \\
B_1^2 &=\begin{bmatrix} 0 & 0 &12 & -8 \\ 0 & 0 & 8 & -4 \\ 0 & 0 & 12 & -8 \\ 0 & 0 & 8 & -4 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{rank}\,B_1^2=2 \\
B_1^3 &=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 32 & -24 \\ 0 & 0 & 24 & -16 \\ 0 & 0 & 32 & -24 \\ 0 & 0 & 24 & -16 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{rank}\,B_1^3=2
\end{align}
所以以 \(\lambda_1\) 为特征值阶为 1 的 Jordan 块的个数为
\begin{align}
w_1(A,\lambda_1)-w_2(A,\lambda_1)=[n-r_1(A,\lambda_1)] - [r_1(A,\lambda_1)-r_2(A,\lambda_1)] = [4-3]-[3-2]=0
\end{align}
以 \(\lambda_1\) 为特征值阶为 2 的 Jordan 块的个数为
\begin{align}
w_2(A,\lambda_1)-w_3(A,\lambda_1)=[r_1(A,\lambda_1)-r_2(A,\lambda_1)] - [r_2(A,\lambda_1)-r_3(A,\lambda_1)] = [3-2]-[2-2]=1
\end{align}
上面第二个 Jordan 块阶数为 2，等于 \(\lambda_1\) 的重数，所以以 \(\lambda_1\) 为特征值的 Jordan 块求解完毕.
 
对 \(\lambda_2=1\), 令
\begin{align}
B_2=A-\lambda_2 I = A-I &=\begin{bmatrix} 2 & -4 & 0 & 2 \\ 4 & -6 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{rank}\,B_2=3 \\
B_2^2 &=\begin{bmatrix} -12 & 16 & 12 & -16 \\ -16 & 20 & 16 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{rank}\,B_2^2=2 \\
B_2^3 &=\begin{bmatrix} 40 & -48 & -40 & 48 \\ 48 & -56 & -48 & 56 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{rank}\,B_2^3=2
\end{align}
所以以 \(\lambda_2\) 为特征值阶为 1 的 Jordan 块的个数为
\begin{align}
w_1(A,\lambda_2)-w_2(A,\lambda_2)=[n-r_1(A,\lambda_2)] - [r_1(A,\lambda_2)-r_2(A,\lambda_2)] = [4-3]-[3-2]=0
\end{align}
以 \(\lambda_2\) 为特征值阶为 2 的 Jordan 块的个数为
\begin{align}
w_2(A,\lambda_2)-w_3(A,\lambda_2)=[r_1(A,\lambda_2)-r_2(A,\lambda_2)] - [r_2(A,\lambda_2)-r_3(A,\lambda_2)] = [3-2]-[2-2]=1
\end{align}
上面第二个 Jordan 块阶数为 2，等于 \(\lambda_2\) 的重数，所以以 \(\lambda_2\) 为特征值的 Jordan 块求解完毕.

由 Jordan 标准型定理 的式 (6) 知，矩阵 \(B^k\), \(k>2\) 的秩不会再变化了，即次数大于特征值的最大的 Jordan 块的阶数时不再变化，最少为 \(n\) 减去 \(\lambda\) 的最大的 Jordan 块的阶数，这里也就是 2.

 

第三步：组成 Jordan 矩阵

以 \(\lambda_1=-1\) 和 \(\lambda_2=1\)为特征值的 Jordan 块各是一个二阶的，所以矩阵 \(A\) 的 Jordan 标准型为

\begin{align}
J=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0&0&0& 1\end{bmatrix}
\end{align}