hihoCoder #1246 王胖浩与环

题目大意

$n$（$1\le n\le 2000$）个正整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$（$a_i\le 5\times 10^7$）分布在一个圆环上。
定义 $b_k$ 为：将环上的数划分成 $k$ 段，每段上的数之和的 GCD 的最大值。
求 $b_1, b_2, \dots, b_n$ 。

解法

首先，不难看出， $b_k$ 是 $n$ 个数之和 （记做 $S$）的约数。
考虑到 $S$ 的约数并不多（$2\sqrt{n}$ 是很松的上界，并且往往 $n$ 越大这上界越松），从而可以考虑枚举 $S$ 的约数 $d$，问题转化为

这 $n$ 个数最多能分成几段，使得每段数之和都能被 $d$ 整除。

算法一

枚举分段的起始位置 $i$，以 $i$ 为序列起点求前缀和，看前缀和中有几个能被 $d$ 整除。
复杂度 $O(n^2)$

算法二

不必枚举分段的起点。
对输入序列求前缀和。
按模 $d$ 的余数将 $n$ 个前缀和分类，用 std::unordered_map<int,int>，记录每个类中有多少个前缀和。
最大的类的 size 即为所求。

复杂度 $O(n\log n)$

这个做法应该是老套路了，我却不知道，我太菜了。TAT