hihocoder #1698 假期计划 （排列组合+费马小定理+乘法逆元）

Description

小Ho未来有一个为期N天的假期，他计划在假期中看A部电影，刷B道编程题。为了劳逸结合，他决定先拿出若干天看电影，再拿出若干天刷题，最后再留若干天看电影。(若干代指大于0)  每天要么看电影不刷题，要么刷题不看电影；不会既刷题又看电影。并且每天至少看一部电影，或者刷一道题。现在小Ho要安排每天看哪些电影/刷哪些题目，以及按什么顺序看电影/刷题目。注意A部电影两两不同并且B道题目也两两不同，请你计算小Ho一共有多少种不同的计划方案。由于结果可能非常大，你只需要输出答案对1000000009（大质数）取模的结果。只要某个事件(看电影或刷题)发生的日期不同或者在全部事件中的次序不同，就视为不同的方案。

Input

三个整数N, A和B。

对于30%的数据，N, A, B <= 10

对于60%的数据, 3 <= N <= 4000, 2 <= A <= 4000, 1 <= B <= 4000

对于100%的数据，3 <= N <= 100000, <= A <= 100000, 1 <= B <= 100000, A + B >= N

Output

一个整数表示答案。

Sample Input

4 2 2

Sample Output

4
解题思路：假设有i天看电影，则有n-i天刷题。把a部电影分到i（i∈[2,min(a,n-1)]，因为至少要留一天刷题，所以i最大为min(a,n-1)，最小为2）天看，每天至少一部的方案数为C(a-1,i-1)（考虑隔板法），又因为a部电影两两不同，因此i天看电影的方案数为a!*C(a-1,i-1)；同理，把b道题分到n-i天刷，每天至少刷一题的方案数为C(b-1,n-i-1)（b>=n-i），又因为b道题两两不相同，因此n-i天刷题的方案数为b!*C(b-1,n-i-1)；又因为i天看电影被分成前后两段，考虑隔板法，还有C(i-1,1)种。因此最终的公式为a!*b!*C(a-1,i-1)*C(b-1,n-i-1)*(i-1)%p。取模大质数-->费马小定理+乘法逆元。
AC代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const LL mod=1e9+;
 const int maxn=;
 int n,a,b;LL res,A[maxn]={};//0!=1
 LL mod_power(LL x,LL y){//快速幂取模
     LL ans=;x%=mod;
     while(y){
         if(y&)ans=ans*x%mod;
         x=x*x%mod;
         y>>=;
     }
     return ans;
 }
 int main(){
     for(int i=;i<maxn;++i)//打印阶乘表
         A[i]=A[i-]*i%mod;
     while(cin>>n>>a>>b){
         res=;
         for(int i=;i<=min(a,n-);++i)
             if(b>=n-i)res=(res+(A[a]*A[b]%mod*A[a-]%mod*A[b-]%mod*mod_power(A[i-]*A[a-i],mod-)%mod*mod_power(A[n-i-]*A[b-n+i],mod-)%mod*(i-)%mod))%mod;
         cout<<res<<endl;
     }
     return ;
 }