扰动法--*BZOJ3157: 国王奇遇记

求$\sum_{i=1}^ni^mm^i$。$n \leq 1e9,m \leq 200$。

其实我也不知道这东西为啥叫“扰动法”，大概是在黑暗的边缘试探？就是那种，人家再多一点就被您看破了，然后您就一定要搞他那么一点去试探他的限度，一不小心给他搞爆了，这种感觉。

扰动三连：

等比数列求和：

$\sum_{i=1}^na_i,a_i=a_1*q^{n-1}$。

令$S_n=\sum_{i=1}^na_i$。

给他日上个$n+1$。

$S_n+a_{n+1}$

$=\sum_{i=1}^{n+1}a_i$

$=a_1+q\sum_{i=1}^na_i$

$=a_1+qS_n$

可得$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，厉害吧！

自然数幂求和：

$\sum_{i=1}^ni^m$。

令$S_n^m=\sum_{i=1}^ni^m$。

给他日上个$n+1$。

$S_n^m+(n+1)^m$

$=\sum_{i=1}^{n+1}i^m$

$=1+\sum_{i=1}^n(i+1)^m$

$=1+\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^m\binom{m}{j}i^j$

$=1+\sum_{j=0}^m\binom{m}{j}\sum_{i=1}^ni^j$

$=1+\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m}{j}S_n^j+S_n^m$

emmmmmm自己把自己日掉了，不虚我们把$m$变成$m+1$。

$S_n^{m+1}+(n+1)^{m+1}$

$=1+\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}S_n^j+S_n^{m+1}$

$=1+\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m+1}{j}S_n^j+S_n^{m+1}+(m+1)S_n^m$

已经知道了。$S_n^m=\frac{(n+1)^{m+1}-\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m+1}{j}S_n^j}{m+1}$。

可以$m^2$。要是给个好膜数可以$mlogm$。

这道题：

令$S_n^m=\sum_{i=1}^ni^mm^i$。

给他日上个$n+1$。

$S_n^m+(n+1)^mm^{n+1}\\$
$=\sum_{i=1}^{n+1}i^mm^i\\$
$=m+\sum_{i=2}^{n+1}i^mm^i\\$
$=m+m\sum_{i=1}^{n}(i+1)^mm^i\\$
$=m+m\sum_{i=1}^{n}m^i\sum_{j=0}^m\binom{m}{j}i^j\\$
$=m+m\sum_{j=0}^{m}\binom{m}{j}\sum_{i=1}^nm^ii^j\\$
$=m+m\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m}{j}\sum_{i=1}^nm^ii^j+mS_n^m$

emmmmmm为什么这里也要emmmmmm，因为化出来那个$\sum_{i=1}^nm^ii^j$跟咱想象的不太一样，那咱换个字母重来一遍。

令$S_n^k=\sum_{i=1}^ni^km^i$。

如此$S_n^k+(n+1)^km^{n+1}=...=m+m\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k}{j}S_n^j+mS_n^k$。

搞定了。$m^2$解决。模数优秀可以$mlogm$。