Binary Indexed Tree (Fenwick Tree)
Binary Indexed Tree 主要是为了存储数组前缀或或后缀和,以便计算任意一段的和。其优势在于可以常数时间处理更新(如果不需要更新直接用一个数组存储所有前缀/后缀和即可)。
空间复杂度O(n). 其中每个元素,存储的是数组中一段(起始元素看作为1而非0)的和:
假设这个元素下标为i,找到i的最低位1,从最低位1开始的低部表示的是长度,去除最低位1剩下的部分加上1表示的是起始位置,例如:
8二进制表示为100
最低位1也是最高位,从1开始的低部也即100本身,因此长度为8.
去除1以后,剩下为0,加上1以后为1。所以sum[8]表示的是从第1个元素开始的8个元素的和.
又比如11的二进制表示为1011
最低位1,因此表示的段长度为1。
去掉1以后剩下部分为1010,因此起始元素为第11个元素。所以sum[11]表示的就是原数组的第11个元素。
求i的最低位1(LSB)可以使用如下位运算:
i & (-i)
求1..i之和,以11为例
sum[11] = sum[8] + sum[10] + sum[11] 也即 0..8之和 + 9, 10之和 + 11。我们可以从最低位开始相加:
int sum = ;
while (i > )
sum += A[i], i -= LSB(i);
return sum;
更新i的值,需要更新所有受影响的和,从sum[i]开始,逐渐扩大i的范围
while (i < SIZE) A[i] += k, i += LSB(i);
比如元素5被更新了,5表示为2进制是101,
那么我们首先更新元素5本身,
然后,5所在的2个元素的小区间:5,6也需要被更新也即 5 + LSB(5) = 6 被更新。
然后,更新5所在的更大的区间,1..8,也即: 6 + LSB(6) = 8。注意,并不存在5..8这样一个单独的4元素区间。每个区间的后半部分可以用这个区间减去前半部分得到:sum 5..8 = sum[8] – sum[4]。
上述代码来自Wiki
最后,求任意区间i..j的值可以由sum[j] – sum[i]得到。
以LeetCode 307. Range Sum Query – Mutable为例,以下为源码:
class NumArray{
public:
// Binary Index Tree (Fenwick Tree)
NumArray(vector<int> nums) {
_nums = vector<int>(nums.size(), );
sums = vector<int>(nums.size() + , );
len = sums.size();
for(int i = ; i < len - ; i++){
update(i, nums[i]);
}
} void update(int i, int val) {
int d = val - _nums[i];
_nums[i++] = val;
while(i < len){
sums[i] += d;
i += LBS(i);
}
} // [i+1, j+1] inclusive, so it should be sum[j+1] - sum[i]
int sumRange(int i, int j) {
return sumRange(++j) - sumRange(i);
}
private:
vector<int> sums;
vector<int> _nums;
int len;
inline int LBS(int &i){
return i & (-i);
} inline int sumRange(int i){
int sum = ;
while(i){
sum += sums[i];
i -= LBS(i);
}
return sum;
}
};
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