数论笔记（Full Version）

数论笔记（Full Version）

一、数论基础：

1、整除：

1. 重新定义除法：
   
   对于计算式：\(a\div b\) 来说，其结果可以变化为以下的式子：$$a = b\lfloor \frac{a}{b} \rfloor + a \bmod b$$其中，\(\lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor\) 为商，\(a \bmod b\) 为余数。

2. 定义：对于任意计算式 \(a\div b\) 来说，若其余数为 \(0\)，则我们称作 \(b\) 能整除 \(a\)，记做 \(b\mid a\)。

2、质数（素数）：

1. 定义：指除了 \(1\) 和其本身以外不能再被其他数所整除的数，我们称其为质数。
2. 几个经典的质数：\(2,3,998244353,10^9+7\)。

3、模运算：

1. 性质：
   1. 加法：\((a+b)\bmod c = (a\bmod c+b\bmod c)\bmod c\)。
   2. 减法：\((a-b)\bmod c=(a\bmod c - b\bmod c + c)\bmod c\)。
   3. 乘法：\((a\times b)\bmod c = a\bmod c \times (b\bmod c) \bmod c\)。

4、\(\gcd(a,b)\) 和 \(\operatorname{lcm}(a,b)\)：

1. \(\gcd(a,b)\)：
   1. 作用：求得 \(a\)，\(b\) 的最大公因数。
   2. 性质：
      1. \(\gcd(a,b) = \gcd(b,a)\)。
      2. \(\gcd(a,b) = \gcd(-a,b)\)。
      3. \(\gcd(a,b) = \gcd(|a|,|b|)\)。
      4. 若有 \(d\mid a\) 且 \(d \mid b\)，则有 \(d\mid \gcd(a,b)\)。
      5. \(\gcd(a,0) = a\)。
      6. \(\gcd(a,ka) = a\)。
      7. \(\gcd(an,bn) = n \gcd(a,b)\)。
      8. \(\gcd(a,b) = \gcd(a,ka+b)\)。
   3. 实现：辗转相除法（欧几里得算法）：

int gcd(int a,int b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

1. \(\operatorname{lcm}(a,b)\)：
   1. 作用：求得 \(a\)，\(b\) 的最小公倍数。
   2. 性质：
      1. \(\gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b) = a\times b\)。
      2. 若有 \(a\mid m\) 且 \(b\mid m\) 那么 \(\operatorname{lcm}(a,b) \mid m\)。
      3. 若 \(m,a,b\) 是正整数，那么\(\operatorname{lcm}(ma,mb) = m \times \operatorname{lcm}(a,b)\)。
   3. 实现：

long long lcm(const int a[], int n){
	long long ans = 1;
	for(int i = 1;i<=n;i++)
		ans = ans * a[i] / gcd(ans,a[i]);
	return ans;
}

5、同余：

1. 定义：对于两个数 \(a\)、\(b\)，如果 \(a \bmod m = b \bmod m\)，那么我们就称 \(a\) 和 \(b\) 在模 \(m\) 的意义下同余，记做：\(a \equiv b \pmod m\)。

2. 性质：

   1. 若 \(m \mid (a-b)\)，则我们可以称 \(a\) 和 \(b\) 在模 \(m\) 的意义下同余。
   2. 若 \(a = mq + b\)，则我们可以称 \(a\) 和 \(b\) 在模 \(m\) 的意义下同余。
   3. 若 \(a \equiv 0 \pmod m\)，则称 \(m\mid a\)。
   4. 反身性：\(a\equiv a\pmod m\)。
   5. 对称性：若 \(a\equiv b \pmod m\)，那么 \(b\equiv a \pmod m\)。
   6. 传递性：若 \(a\equiv b \pmod m\)，\(b\equiv c \pmod m\)，那么 \(a\equiv c \pmod m\)。
   7. 同余式相加：若 \(a\equiv b \pmod m\)，\(c \equiv d \pmod m\)，那么 \(a\pm c\equiv b\pm d \pmod m\)。
   8. 同余式相乘：若 \(a\equiv b\pmod m\)，\(c \equiv d\pmod m\)，那么 \(ac\equiv bd \pmod m\)。
   9. 同余幂运算：若 \(a\equiv b\pmod m\)，那么 \(a^n\equiv b^n \pmod m\)。
   10. 若有整数 \(a,b\)，正整数 \(k,m\)，且有关系 \(a \equiv b \pmod m\)，则有 \(ak \equiv bk \pmod {mk}\)。
   11. 若有整数 \(a,b\)，正整数 \(d,m\)，且存在 \(d \mid a,\, d\mid b,\, d\mid m\)，并有关系 \(a\equiv b \pmod m\)，则有 \(\dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d} \pmod {\dfrac{m}{d}}\)。
   12. 若有整数 \(a,b\)，正整数 \(d,m\)，且存在 \(d\mid m\)，并有关系 \(a\equiv b\pmod m\)，则有 \(a\equiv b \pmod d\)。
   13. 若有整数 \(a,b\)，正整数 \(d,m\)，且存在 \(d = \gcd(b,m)\)，则有 \(d = \gcd(a,m)\)，换句话说，若存在 \(d\mid m,\, d\mid b\)，则一定有 \(d\mid a\)。

6、同余类和剩余系：

1. 剩余系：
   1. 定义：是指模正整数 \(n\) 的余数所组成的集合。
      1. 完全剩余系：一个包含了正整数 \(n\) 所有可能的余数的剩余系叫做完全剩余系，记做 \(Z_n\)。
      2. 简化剩余系：包含了完全剩余系中所有与 \(n\) 互质的数的剩余系，记做 \(Z^*_n\)。
      3. 在完全剩余系之下，所有的运算全部在模 \(n\) 意义下进行的。
2. 同余类：将满足同余关系的所有整数看作成一个同余等价类。

这里是穿越过来的 Larry76，事实上，在学习群论以后，剩余系的本质其实就是一种「环」，而同余类可以看做是环上的同一位置的不同表示的表示方法的集合。

7、互质：

1. 定义：\(\forall a,b \in N\)，若 \(\gcd(a,b) = 1\)，那么就说 \(a\) 和 \(b\) 互质，记做 \(a \perp b\)。
2. 性质：
   1. 两个不同的质数一定是互质的。
   2. 一个质数和另一个不为它倍数的数是互质的。
   3. \(1\) 与任意一个数（除了 \(1\) 本身）都是互质的。
   4. 相邻的两个自然数是互质的。
   5. 相邻的两个奇数是互质的。
   6. 较大数为质数的两个数是互质的。
   7. 斐波那契数列上两个相邻的数是互质的。

7、数论函数：

1. 积性函数和完全积性函数：
   1. 积性函数：
      1. 定义：设有函数 \(f(x)\) 和变量 \(a,b\)。
         
         \(\forall a\perp b\)，我们有 \(f(ab) = f(a) \cdot f(b)\)
         
         则函数 \(f(x)\) 为积性函数。
   2. 完全积性函数：
      1. 定义：设有函数 \(f(x)\) 和变量 \(a,b\)。
         
         \(\forall a,b\)，我们有 \(f(ab) = f(a) \cdot f(b)\)。
         
         则函数 \(f(x)\) 为完全积性函数。
2. 常见数论函数：
   1. 完全积性函数：
      1. 单位元：\(\operatorname{e}(n) = [n=1]\)。
      2. 常函数：\(\operatorname{I}(n) = 1\)。
      3. 单位函数：\(\operatorname{id}(n) = n\qquad(n\ge 1)\)。
   2. 积性函数：
      1. 莫比乌斯函数：
      \[\mu(n) = \begin{cases}1 && n = 1 \\(-1)^k && \text{n没有平方因子}\\0 && \text{n有平方因子}\end{cases}
      \]
      1. 欧拉函数：
      \[\varphi(n) = n\times \prod_{p|n}\frac{p-1}{p}
      \]
      1. 约数幂和函数：
      \[\sigma_k(n) = \sum_{d|n}d^k
      \]

      其中，当 \(k=0\) 时，可以简写为 \(\sigma(n)\)