洛谷 P5065 不归之人与望眼欲穿的人们

题意

一个长 \(n\) 的正整数序列 \(a\)，支持单点修改数值，询问所有按位或值大于等于 \(k\) 的区间长度最短为多少。

数据范围：\(1\le n\le 50000, 0\le a_i, k \le 2^{30}\)。

题解

首先看到区间或，立马想到固定一个端点扩展区间，每个二进制位只会从 \(0\) 变成 \(1\)。这样很容易得到一个 \(\Theta(mn\log V)\) 的暴力做法。考虑进行一个分块。注意到我们要支持单点修改，而维护的是每个点开头的区间二进制位从 \(0\) 变为 \(1\) 的点。这个东西不太好做成块内批量修改。或者打标记类似东西。所以要想在修改的时候动态维护所有信息是很困难的。但是我们不需要这么做，事实上这样做询问是 \(\Theta(1)\) 或者单 \(\log\) 之类的，这真是很扯。所以需要在修改的时候少维护一些信息，留一些工作到查询的时候去合并。我们在修改单点的时候只更新块内答案（这是很容易的），而跨块的答案，在查询时通过遍历每个块来实现。具体地，对于每个块记录以下的信息：这个块内长度为 \(L\) 的区间二进制或值最大为多少；以这个块左端点为左端点向右扩展区间的信息；以这个块右端点为右端点向左扩展区间的信息。查询时在每个块上二分，求出块内段的最短长度；随后从左向右扫描，维护以某个块的结尾为右端点向左扩展区间的信息，然后与下一个块开头向右扩展的信息去双指针合并，就可以统计包含了这个断点的所有区间，二进制或至少为 \(k\) 的最短是多少。处理完一个断电以后，一次跳过一个块，将原先向左扩展的区间全部或上当前段的二进制或和，然后再加入这个段内的后缀信息，去重。总复杂度：查询 \(\Theta(\sqrt{n}\log V)\)，修改 \(\Theta(\sqrt{n}\log V)\)。

卡常方法，可见第一鲜花外传一。