做了题还是忍不住要写一发题解,感觉楼下的不易懂啊。

本题解使用latex纯手写精心打造。

题意:求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}\)的正整数解总数。

首先,不会线筛素数的先去做下LuoguP3383

开始推导。

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}
\]

那么\(\frac{1}{x}\)和\(\frac{1}{y}\)肯定是小于\(\frac{1}{n!}\)的。所以\(x\)和\(y\)肯定都是大于\(n!\)的。

我们令

\[y=n!+k(k∈N^*)
\]

原式变为

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{n!+k}=\frac{1}{n!}
\]

等式两边同乘\(x*n!*(n!+k)\)得

\[n!(n!+k)+xn!=x(n!+k)
\]

移项得

\[n!(n!+k)=x(n!+k)-xn!=xk
\]

\[x=\frac{n!(n!+k)}{k}=\frac{(n!)^2}{k}+n!
\]

∵\(x\)为正整数

∴\(\frac{(n!)^2}{k}+n!\)为正整数,\(\frac{(n!)^2}{k}\)为正整数,因为\(k=y-n!\),而\(y\)是可以取到任意正整数的,所以\(k\)也可以取到任意正整数,所以这道题就变成了求\((n!)^2\)的约数个数。

求约数个数,线筛的时候我们已经预处理出每个数的最小质因子,直接\(for\)一遍\(1-n\),不断除以它的最小公约数,直到变成1为止,同时每次都使记录质因数的指数的数组++,这就完成了对每个数分解质因数,最后把这些质因数的指数+1乘起来就行了。时间复杂度\(O(nlogn)\)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define rep(i,m,n) for(int i=m;i<=n;++i)
#define dop(i,m,n) for(int i=m;i>=n;--i)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 2147483647
using namespace std;
inline int read(){
int s = 0, w = 1;
char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')w = -1;ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0',ch = getchar();
return s * w;
}
const int MAXN = 1000010;
const int MOD = 1000000007;
int n;
int c[MAXN], v[MAXN], prime[MAXN], cnt;
int ans = 1;
int main(){
n = read();
/////////
rep(i, 2, n){
if(!v[i]){
v[i] = i;
prime[++cnt] = i;
}
rep(j, 1, cnt){
if(prime[j] > v[i] || prime[j] > n / i) break;
v[i * prime[j]] = prime[j];
}
}
///////线筛
rep(i, 1, n){ //求质因数指数
for(int j = i; j != 1; j /= v[j])
c[v[j]]++;
}
rep(i, 1, n) ans = (long long)ans * (c[i] * 2 + 1) % MOD; //long long保存中间过程,既节省了时间、空间复杂度,又不会溢出
printf("%d\n", ans);
return 0;
}

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