bzoj 1942 斜率优化DP

　　首先我们贪心的考虑，对于某一天来说，我们只有3中策略，第一种为不做任何行动，这时的答案与前一天相同，第二种为将自己的钱全部换成a,b货币，因为如果换a，b货币，代表在之后的某一天卖出去后会赚钱，那么当时手中的a，b货币越多，盈利越多，所以全买。第三种策略为将自己的货币全部卖出，贪心正确性和第二种类似。

　　那么我们设w[i]为到第i天，手中最多有多少钱，那么就可以比较容易的列出转移方程w[i]=max(w[i-1],第j天将所有的货币卖出，第i天卖掉的钱)，这样的时间复杂度为n^2，显然不能通过全部测试数据，那么我们考虑优化。

　　w[i-1]比较容易考虑，那么我们现在要求的就是对于固定的i，第j天将所有的货币卖出，第i天卖掉的钱的最大值，设这个为tot，那么我们用式子表示出这个来，因为第j天剩下w[j]的钱，那么我们可以换成a货币w[j]/(a[j]+b[j]*rate[j])，b货币为rate[j]*a货币，那么设x[i]为第i天的钱全部换成a货币的数量，y[i]为第i天的钱全部换成b货币的数量，那么则有x[i]=w[i]/(a[i]+b[i]*rate[i])，y[i]=x[i]*rate[i]，那么第j天的货币在第i天卖掉获得的钱为a[i]*x[j]+b[i]+y[j]，那么w[i]=max(w[i-1],a[i]*x[j]+b[i]*y[j])，现在我们求的就是z=a[i]*x[j]+b[i]*y[j]的最大值，那么用线性规划的方法，y[j]=z/b[i]-x[j]*a[i]/b[i]，显然当使斜率为-a[i]/b[i]的直线的纵截距最大的时候答案最优，那么我们只需要维护一个x,y坐标的下凸壳即可。

　　但是这道题的x坐标显然没有什么单调性，所以我们可以用splay来维护。

/**************************************************************
    Problem:
    User: BLADEVIL
    Language: Pascal
    Result: Accepted
    Time: ms
    Memory: kb
****************************************************************/

//By BLADEVIL
const
    eps                     =1e-9;

var
    n                       :longint;
    w, a, b, rate           :array[..] of extended;
    x, y                    :array[..] of extended;
    lk, rk                  :array[..] of extended;
    root                    :longint;
    son                     :array[..,..] of longint;
    father                  :array[..] of longint;

function max(a,b:extended):extended;
begin
    if a>b then exit(a) else exit(b);
end;    

procedure init;
var
    i                       :longint;
begin
    read(n,w[]);
    for i:= to n do read(a[i],b[i],rate[i]);
end;

function fabs(x:extended):extended;
begin
    if x> then exit(x) else exit(-x);
end;

procedure rotate(x:longint;var root:longint);
var
    y, z, p, q              :longint;
begin
    y:=father[x];
    z:=father[y];
    if son[y][]=x then p:= else p:=;
    q:=p xor ;
    if y=root then root:=x
        else if son[z][]=y then
            son[z][]:=x else son[z][]:=x;
    father[x]:=z; father[y]:=x;
    father[son[x][q]]:=y;
    son[y][p]:=son[x][q];
    son[x][q]:=y;
end;

procedure splay(x:longint;var root:longint);
var
    y, z                    :longint;
begin
    while x<>root do
    begin
        y:=father[x];
        z:=father[y];
        if y<>root then
            if (son[y][]=x) xor (son[z][]=y)
            then rotate(x,root) else rotate(y,root);
        rotate(x,root);
    end;
end;

procedure insert(var t:longint;anc,now:longint);
begin
    if t= then
    begin
        t:=now;
        father[t]:=anc;
        exit;
    end;
    if (x[now]<=x[t]+eps) then
        insert(son[t][],t,now) else
        insert(son[t][],t,now);
end;

function getk(i,j:longint):extended;
begin
    if fabs(x[i]-x[j])<eps then exit(-maxlongint);
    exit((y[j]-y[i])/(x[j]-x[i]));
end;

function prev(root:longint):longint;
var
    rot, tmp                :longint;
begin
    rot:=son[root][];
    tmp:=rot;
    while rot<> do
    begin
        if (getk(rot,root)<=lk[rot]+eps) then
        begin
            tmp:=rot;
            rot:=son[rot][];
        end else rot:=son[rot][];
    end;
    exit(tmp);
end;

function succ(root:longint):longint;
var
    rot, tmp                :longint;
begin
    rot:=son[root][];
    tmp:=rot;
    while rot<> do
    begin
        if (getk(root,rot)+eps>=rk[rot]) then
        begin
            tmp:=rot;
            rot:=son[rot][];
        end else rot:=son[rot][];
    end;
    exit(tmp);
end;

procedure update(t:longint);
var
    left, right             :longint;
begin
    splay(t,root);
    if son[t][]<> then
    begin
        left:=prev(root);
        splay(left,son[root][]);
        son[left][]:=;
        lk[t]:=getk(left,t);
        rk[left]:=lk[t];
    end else lk[t]:=maxlongint;
    if son[t][]<> then
    begin
        right:=succ(root);
        splay(right,son[root][]);
        son[right][]:=;
        rk[t]:=getk(t,right);
        lk[right]:=rk[t];
    end else rk[t]:=-maxlongint;
    if (lk[t]<=rk[t]+eps) then
    begin
        root:=son[t][];
        son[root][]:=son[t][];
        father[son[t][]]:=root;
        father[root]:=;
        rk[root]:=getk(root,son[t][]);
        lk[son[t][]]:=lk[root];
    end;
end;

function find(t:longint;k:extended):longint;
begin
    if t= then exit();
    if (lk[t]+eps>=k) and (k+eps>=rk[t]) then exit(t);
    if (k+eps>lk[t]) then
        exit(find(son[t][],k)) else
        exit(find(son[t][],k));
end;

procedure main;
var
    i                       :longint;
    p                       :longint;
begin
    for i:= to n do
    begin
        p:=find(root,-a[i]/b[i]);
        w[i]:=max(w[i-],x[p]*a[i]+y[p]*b[i]);
        y[i]:=w[i]/(a[i]*rate[i]+b[i]);
        x[i]:=y[i]*rate[i];
        insert(root,,i);
        update(i);
    end;
    writeln(w[n]::);
end;

begin
    init;
    main;
end.