组合数学之Pólya计数理论

1 群

群$(G, cdot)$: 闭合, 结合律, 幺元, 逆

1.1 置换群

置换为双射$pi:[n]to [n]$, 置换之间的操作符 $cdot$ 定义为函数的复合, 即$(pi cdot sigma)(i)=pi(sigma(i))$

对称群$S_n$

$S_n$表示$[n]$的所有置换的集合. 容易验证$S_n$和函数复合操作 $cdot$ 构成一个群, 称为$n$元对称群.
$S_n$的子群称为置换群.

循环群$C_n$

定义特殊的置换$sigma$满足$forall i, ~sigma(i)=(i+1)mod n$, $C_n={sigma^t|tge 0}$, $C_n$称为$n$阶循环群, 生成元为$sigma$, 是$n$边正多边形的旋转对称.

Dihedral群$D_n$

定义特殊置换$rho$满足$forall iin [n], ~rho(i)=n-i-1$. 把$rho$加入$C_n$则得到Dihedral群$D_n$. 为正$n$边形翻转和旋转操作的对称群

Cycle decomposition

将置换等价表示为cycle的复合

1.2 群操作

例子: 项链上色

问题: $n$个珠子的项链, 珠子每个是$m$种颜色之一. 形式化的为$x:[n]to[m]$, 即把$m$个颜色分配给$n$个位置. $X={x:[n]to[m]}$为这样的分配的集合.

考虑两种对称操作:

旋转: 循环群$C_n$
旋转和翻转: dihedral群$D_n$

项链的操作被描述为$X$上的群操作. 对于置换群$G$, 任意$pi in G$和$xin X$, 群操作$picirc x$定义为$(pi circ x)(i)=x(pi(i))$

2 Burnside’s Lemma

2.1 轨道(Orbits)

定义和性质如下:

可以把轨道理解为一个等价类, 同一等价类中的元素可以通过$G$中的操作相互转换.

2.2 invariant set and stabilizer

$G$: 作用于集合$X$上的置换群. $piin G$, $xin X$.

$pi$的invariant set: $X_pi ={xin X|picirc x=x}$
$x$的stabilizer: $G_x={piin G|pi circ x=x}$

引理:

证明:

$Gx={x_1,x_2,cdots, x_t}$, $P={pi_1,pi_2,cdots, pi_t}$, 其中$pi_icirc x=x_i, ~ i = 1,2,cdots, t$
构造一个$G$和$Ptimes G_x$的双射:
- 对于任意$piin G$, 对于某个$x_i$有$picirc x=x_i$
- 因为$pi_icirc x=x_i$, 所以$pi_icirc x=picirc x$, 故$(pi_i^{-1}cdot pi)circ x=x$
- 记$sigma=pi_i^{-1}pi$, 则$pi_icdot sigma =pi$, $sigma circ x=x$, 即$sigma in G_x$.
- 因此每个$piin 大专栏组合数学之Pólya计数理论G$对应一个不同的pair$(pi_i, sigma)in Ptimes G_x$
- 对于每个$pi_iin P$和$sigmain G_x$, 有$pi=pi_icdot sigmain G$
- 对于$pi_isigma=pi_jtau$, 有$(pi_icdot sigma)circ x=x_i$, $(pi_jcdot tau)circ x=x_j$, 所以$x_i=x_j$, $pi_i=pi_j$, $tau =sigma$
- 因此是双射, 得证.

2.3 轨道计数

Burnside’s Lemma: 轨道的个数(记做$|X/G|$) 为

证明:

记$A(pi, x)=begin{cases}1 & picirc x=x,\0& ~ otherwise. end{cases}$
$sum_{piin G}|X_pi|=sum_{piin G}sum_{xin X}A(pi, x)=sum_{xin X}sum_{piin G}A(pi, x)=sum_{xin X}|G_x|$.
定义轨道为$X_1,cdots, X_{|X/G|}, 则$
使用上面的引理, 有

3 Pólya’s Theory of Counting

3.1 The cycle index

对于某种上色$x$, 如果$x$在$piin G$下是不变的, 那么在$pi$的每个circle中的所有位置必须有相同颜色. 即如果$pi$被分解为$k$个circle, 那么$|X_pi|=m^k$.

定义一个置换群$G$中的cycle index:

对任意$piin G$, 如果$pi$是$k$个cycle的乘积, 且第$i$个cycle的长度为$l_i$,令

$G$的cycle index为

3.2 Pólya’s enumeration formula

对于任意tuple $v=(n_1,n_2,cdots, n_m)$满足$n_1+n_2+cdots+n_m=n$和$n_ige 0, ~ 1le ile m$, 表示第$i$个颜色的珠子有$n_i$个.

pattern inventory:

$a_v$的多元生成函数

Pólya’s enumeration formula:

非等价的$n$个物体的$m$色上色的pattern inventory为

证明思路如下:

$X^v={x:[n]to[m]|forall iin [m], x^{-1}(i)=n_i}$表示第$i$个颜色出现$n_i$的着色方案集合(所有都算, 对称的也算)
$X_pi^v={xin X^v|picirc x=x}$
先(用Burnside’s lemma)证明
再证明

考虑中间值$(y_1^{l_1}+y_2^{l_1}+cdots,y_m^{l_1})y_1^{l_2}+y_2^{l_2}+cdots,y_m^{l_2})cdots (y_1^{l_m}+y_2^{l_m}+cdots,y_m^{l_m})$, 和等式左右都相等.
合起来即证毕.