题解 P4317 【花神的数论题】

题目

可能跟某位大佬有点类似，不过我的应该跑得比他快那么一点点......虽然应该没什么关系......

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【分析】

假设一个对于一个数 \(N\) ,最高位为第 \(n\) 位

那么，显然有 \(2^n \leq N \leq 2^{n+1}-1\)

(即第一位一定为 \(1\) ，后面可能 \(1\) ，可能 \(0\))

因此，对于这个数 \(N\) ,我们不能直接拿 \(C_n^m\) 来算

那么我们可以这样考虑，最高位为 \(n\) ,那么，对于后面的 \((n-1)\) 为一定是可 \(1\) 可 \(0\) 。

因此，假设后面有 \(i\) 个 \(1\) ，故根据排列组合，有 \(C_{n-1}^i\) 个 \(i\)，因此它对答案的贡献是 \(i^{C_{n-1}^i}\)

同理，类推出来，\(0\)~\(2^n-1\) 这些数对答案的贡献就是 \(\Pi_{i=1}^{n-1} i^{{C_{n-1}^i}}\)

那么我们现在将第 \(n\) 位固定为 \(1\) ,假设第二个 \(1\) 为第 \(m\) 位

同样的，它后面的 \((m-1)\) 为一定可 \(1\) 可 \(0\) ，因此同上考虑后 \((m-1)\) 位有 \(i\) 个 \(1\)，加上前面那个 \(1\) 共\((i+1)\) 个 \(i\) ，故贡献为 \((i+1)^{C_{m-1}^i}\)

因此这个 \(1\) 对答案的贡献为 \(\Pi_{i=1}^{m-1} (i+1)^{C_{m-1}^i}\)

如上考虑，每个 \(1\) ,假设是第 \(Cnt\) 个 \(1\)，在第 \(Cal\) 位，对答案的贡献就是 \(\Pi_{i=1}^{Cal-1} (i+Cnt)^{C_{Cal-1}^i}\)

把它们都乘起来即可

得到 \((N-1)\) 的答案(LRJ：想一想，为什么？)

所以直接读入的时候 \(N\) 给它 \(+1\) 即可

当然，这边还有一个问题(假装你们都懂得要取模和快速幂)：

\(C_{n-1}^i\) 可能会极大无比

这边考虑欧拉公式：\(a^{\varphi(p)} \equiv 1(mod\) \(p)\)

且 \(\varphi(10000007)=9988440\)

因此，我们在算排列数的时候记得对这个数取模即可

剩下的一些细节就直接看本蒟蒻的代码吧

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【代码】

那本蒟蒻就放代码了

#include<cstdio>
using namespace std;
#define f(a,b,c) for(register int a=b;a<=c;a++)
#define g(a,b,c) for(register int a=b;a>=c;a--)
#define Max(a,b) ((a>b)?a:b)
#define Min(a,b) ((a<b)?a:b)
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout)
typedef long long int ll;
typedef unsigned long long int ull;
const int MAXN=100010;
const int Mod=10000007;
const int Phi=9988440;
inline ll read(){
    register ll ans=0;register char c=getchar();register bool neg=0;
    while((c<'0')|(c>'9')) neg^=!(c^'-'),c=getchar();
    while((c>='0')&(c<='9')) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
    return neg?-ans:ans;
}
ll N,Cnt=0,C[64][64],Ans=1;
int LOG(ll n){ return (n==1)?0:(LOG(n>>1)+1); }
void pre(){
	N=read()+1;
	int n=LOG(N);
	f(i,0,n){
		C[i][i]=C[i][0]=1;
		g(j,i-1,1) C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1],C[i][j]-=(C[i][j]>=Phi)?Phi:0;
	}
}
int pow(int i,int a){
	if(a==0) return 1; if(a==1) return i;
	ll tmp=pow(i,a>>1);
	tmp=tmp*tmp%Mod*((a&1)?i:1)%Mod;
	return tmp;
}
int main(){
	pre();
	while(N){
		ll Cal=LOG(N);
		if(Cnt) Ans*=Cnt,Ans%=Mod;
		f(i,1,Cal) Ans*=pow(i+Cnt,C[Cal][i]),Ans%=Mod;
		Cnt++;
		N-=(1ll<<Cal);
	}
	printf("%d",Ans);
	return 0;
}

最后安利一下 本蒟蒻的博客