Note/Solution -「洛谷 P6466」分散层叠算法

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  给定 \(m\) 个长度为 \(n\) 的有严格升序且不包含重复元素的序列 \(a_1,a_2,\cdots,a_m\)，\(q\) 个询问，每次询问给出 \(x\)，求 \(x\) 在每个序列中的非严格后继的异或和。强制在线。

  \(m\le100\)，\(n\le10^4\)，\(q\le10^5\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  算是一种对多序列二分的优化科技/叭。

  思考两种暴力做法：

  第一种，直接在每个序列里二分求答案，则有单次 \(\mathcal O(m\log n)\)。

  第二种，把 \(m\) 个序列归并为一个长度为 \(nm\) 的大序列，对于其每个位置记录其在原来 \(m\) 个序列中的非严格后继。则有 \(\mathcal O(nm\log m)-\mathcal O(m+\log(nm))\)，不过空间复杂度难以接受。

  而所谓“分散层叠算法”，就是对以上两种算法的平衡——假设我们求出了序列集 \(b_1,b_2,\cdots,b_m\)，其中 \(b_1=a_1\)，\(b_i~(i>1)\) 是对 \(a_1,a_2,\cdots,a_i\) 某种形式的“概括”，满足我们在 \(b_i\) 中二分 \(x\)，能够找到 \(x\) 在实际 \(a_i\) 中的后继，同时找到 \(x\) 在 \(b_{i-1}\) 中后继的近似位置，那么就能在 \(\mathcal O(1)\) 调整该位置后迭代入 \(b_{i-1}\) 的子问题啦。

  具体地，构造 \(b_i\) 为

\[b_i=\langle a_{i,1},a_{i,2},\cdots,a_{i,n},b_{i-1,2},b_{i-1,4},\cdots\rangle_{\text{(sorted)}}
\]

即，\(b_i\) 是 \(a_i\) 和 \(b_{i-1}\) 的偶数位置元素构成的有序序列列。归纳可证，\(b_i\) 的长度不 过 \(2n\)。同时对于 \(b_i\) 中的每个元素，记录其在 \(a_i\) 中的后继位置以及其在 \(b_{i-1}\)（完整的，包括奇数位置和偶数位置）中的后继位置（若不存在，设为最后一项，因为我们需要继续迭代调整）。

  预处理时间为 \(\mathcal O(nm)\)，结合上文查询方法，做到了 \(\mathcal O(nm)-\mathcal O(\log n+m)\)。这种 trick 常常与分块结合，可以加以扩展呢！

\(\mathcal{Code}\)

  常数挺小的。（

/* Clearink */

#include <cstdio>
#include <algorithm>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, repEnd##i = r; i <= repEnd##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, repEnd##i = l; i >= repEnd##i; --i )

inline char fgc() {
	static char buf[1 << 17], *p = buf, *q = buf;
	return p == q && ( q = buf + fread( p = buf, 1, 1 << 17, stdin ), p == q )
		? EOF : *p++;
}

inline int rint() {
	int x = 0, f = 1, s = fgc();
	for ( ; s < '0' || '9' < s; s = fgc() ) f = s == '-' ? -f : f;
	for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = fgc() ) x = x * 10 + ( s ^ '0' );
	return x * f;
}

template<typename Tp>
inline void wint( Tp x ) {
	if ( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
	if ( 9 < x ) wint( x / 10 );
	putchar( x % 10 ^ '0' );
}

const int MAXN = 1e4, MAXM = 100;
int n, m, q, D, a[MAXM + 5][MAXN + 5];

int len[MAXM + 5], top[MAXN * 2 + 5];
struct Atom { int val, nxa, nxb; };
Atom b[MAXM + 5][MAXN * 2 + 5];

inline void init() {
	len[m] = n;
	rep ( i, 1, n ) b[m][i] = { a[m][i], i, 0 };
	static Atom tmp[MAXN + 5];
	per ( i, m - 1, 1 ) {
		int tlen = 0;
		Atom* curb = b[i];
		for ( int j = 2; j <= len[i + 1]; j += 2 ) {
			tmp[++tlen] = { b[i + 1][j].val, 0, j };
		}
		int p = 1, q = 1;
		rep ( j, 1, n ) {
			for ( ; p <= tlen && tmp[p].val <= a[i][j]; ++p ) {
				*++curb = tmp[p], curb->nxa = j;
			}
			for ( ; q < len[i + 1] && b[i + 1][q].val <= a[i][j]; ++q );
			*++curb = { a[i][j], j, q };
		}
		for ( ; p <= tlen; *++curb = tmp[p++] );
		len[i] = curb - b[i];
		#ifdef RYBY
			printf( "b[%d]:\n", i );
			rep ( j, 1, len[i] ) {
				printf( "(%d,%d,%d) ", b[i][j].val, b[i][j].nxa, b[i][j].nxb );
			}
			putchar( '\n' );
		#endif
	}
	rep ( i, 1, len[1] ) top[i] = b[1][i].val;
}

int main() {
	n = rint(), m = rint(), q = rint(), D = rint();
	rep ( i, 1, m ) rep ( j, 1, n ) a[i][j] = rint();
	init();
	for ( int qid = 1, x, ans = 0; qid <= q; ++qid ) {
		x = rint() ^ ans, ans = 0;
		int p = std::lower_bound( top + 1, top + len[1] + 1, x ) - top;
		ans ^= a[1][b[1][p].nxa];
		#ifdef RYBY
			printf( "in %d, p=%d: %d\n", 1, p, a[1][b[1][p].nxa] );
		#endif
		rep ( i, 2, m ) {
			p = b[i - 1][p].nxb;
			for ( ; p < len[i] && b[i][p + 1].val <= x; ++p );
			for ( ; p > 1 && b[i][p - 1].val >= x; --p );
			#ifdef RYBY
				printf( "in %d, p=%d: %d\n", i, p, a[i][b[i][p].nxa] );
			#endif
			if ( a[i][b[i][p].nxa] >= x ) ans ^= a[i][b[i][p].nxa];
		}
		if ( !( qid % D ) ) wint( ans ), putchar( '\n' );
	}
	return 0;
}